1. (2024·泸州中考)已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，下列条件中，不能判定 $□ ABCD$ 为矩形的是(
D
)
A.$∠ A = 90^{\circ}$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AC ⊥ BD$
答案：1. D 解析：A.由 $ ∠A = 90° $ 可得平行四边形 $ ABCD $ 四个角均为 $ 90° $，
∴ 可以判定 $ □ABCD $ 为矩形；B.由 $ ∠B = ∠C $ 可得 $ ∠B = ∠C = 90° $，
∴ 可以判定 $ □ABCD $ 为矩形；C.对角线相等的平行四边形是矩形，
∴ 可以判定 $ □ABCD $ 为矩形；D.不能判定 $ □ABCD $ 为矩形.故选 D.
2. (2025·贵港期中)小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的四边形窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是(
D
)
A.度量窗户的两个角是否为 $90^{\circ}$
B.测量窗户两组对边是否分别相等
C.测量窗户两条对角线是否相等
D.测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否都相等
答案：2. D 解析：A，B，C 均无法判定矩形；D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，即对角线是否互相平分且相等，由对角线互相平分可得四边形为平行四边形，由对角线相等可得该平行四边形为矩形，
∴ 可以判定是否为矩形.故选 D.
归纳总结 矩形的判定
判定一个平行四边形为矩形的方法：
①对角线相等的平行四边形为矩形；
②有一个角是直角的平行四边形为矩形.
判定一个四边形为矩形的方法：
①有三个角是直角的四边形为矩形；
②对角线相等且互相平分的四边形为矩形.
3. 新趋势
开放性试题 (2025·怀化期中)如图，两个完全相同的三角尺 $ABC$ 和 $DEF$ 在直线上滑动，要使四边形 $CBFE$ 为矩形，还需添加的一个条件是
$ BE = CF $（答案不唯一）
(写出一个即可)。
]
答案：3. $ BE = CF $（答案不唯一） 解析：根据题意可得 $ CB = EF $ 且 $ CB // EF $，
∴ 四边形 $ CBFE $ 是平行四边形，当 $ BE = CF $ 时，即平行四边形 $ CBFE $ 的对角线相等，
∴ 四边形 $ CBFE $ 为矩形.
4. 如图，四边形 $ABCD$ 的两条对角线交于点 $E$，若 $AD // BC$，则图中面积相等的三角形共有
3
对。
答案：4. 3 解析：由平行线间距离相等，可得面积相等的三角形共有 3 对，分别是 $ △ABC $ 和 $ △BCD $，$ △ABD $ 和 $ △ACD $，$ △ABE $ 和 $ △CDE $.
解析：
证明：
∵ $AD // BC$，
∴ $△ABC$ 与 $△DBC$ 同底 $BC$ 且等高，故 $S_{△ABC}=S_{△DBC}$；
$△ABD$ 与 $△ACD$ 同底 $AD$ 且等高，故 $S_{△ABD}=S_{△ACD}$；
∵ $S_{△ABC}-S_{△BEC}=S_{△DBC}-S_{△BEC}$，
∴ $S_{△ABE}=S_{△CDE}$。
综上，面积相等的三角形共有 3 对，分别为：$△ABC$ 和 $△DBC$，$△ABD$ 和 $△ACD$，$△ABE$ 和 $△CDE$。
3
5. (2025·青海中考)如图，在 $△ ABC$ 中，点 $O$，$D$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，过点 $A$ 作 $AE // BC$ 交 $DO$ 的延长线于点 $E$，连接 $AD$，$BE$。
(1) 求证：四边形 $AEBD$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB = AC$，试判断四边形 $AEBD$ 的形状，并证明。
]
答案：5. (1)
∵ 点 $ O $ 为 $ AB $ 的中点，
∴ $ OA = OB $.
∵ $ AE // BC $，
∴ $ ∠EAO = ∠OBD $，$ ∠AEO = ∠BDO $. 在 $ △AEO $ 和 $ △BDO $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠EAO = ∠DBO, } \\ { ∠AEO = ∠BDO, } \\ { OA = OB, } \end{array} $
∴ $ △AEO ≌ △BDO ( AAS ) $，
∴ $ AE = BD $.
∵ $ AE // BD $，
∴ 四边形 $ AEBD $ 是平行四边形.
(2) 当 $ AB = AC $ 时，四边形 $ AEBD $ 是矩形，理由如下：
∵ $ AB = AC $，点 $ D $ 是 $ BC $ 边上的中点，
∴ $ AD ⊥ BC $，即 $ ∠ADB = 90° $.
∵ 由 (1) 得四边形 $ AEBD $ 是平行四边形，
∴ 四边形 $ AEBD $ 是矩形.
6. 教材变式 如图，平行四边形 $ABCD$ 的四个内角的平分线分别相交于点 $E$，$F$，$G$，$H$。
(1) 试判断四边形 $EFGH$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $AB = 6$，$BC = 9$，$∠ ABC = 60^{\circ}$，则 $EF$ 的长为
$\frac { 3 } { 2 }$
。
]
答案：6. (1) 四边形 $ EFGH $ 是矩形. 理由如下：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AB // CD $，
∴ $ ∠ABC + ∠BCD = 180° $.
∵ $ BH $，$ CH $ 分别平分 $ ∠ABC $ 与 $ ∠BCD $，
∴ $ ∠HBC = \frac { 1 } { 2 } ∠ABC $，$ ∠HCB = \frac { 1 } { 2 } ∠BCD $，
∴ $ ∠HBC + ∠HCB = \frac { 1 } { 2 } ( ∠ABC + ∠BCD ) = \frac { 1 } { 2 } × 180° = 90° $，
∴ $ ∠H = 90° $. 同理，$ ∠HEF = ∠F = ∠HGF = 90° $，
∴ 四边形 $ EFGH $ 是矩形.
(2) $ \frac { 3 } { 2 } $ 解析：
∵ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，
∴ $ AD = BC = 9 $，$ ∠ADC = ∠ABC = 60° $.
∵ $ BH $，$ DF $ 分别平分 $ ∠ABC $ 和 $ ∠ADC $，
∴ $ ∠ABE = ∠ADF = 30° $，由 (1) 得，$ ∠AEB = ∠AFD = 90° $，
∴ 在 $ \mathrm { Rt } △ABE $ 和 $ \mathrm { Rt } △ADF $ 中，$ AE = \frac { 1 } { 2 } AB = 3 $，$ AF = \frac { 1 } { 2 } AD = \frac { 9 } { 2 } $，
∴ $ EF = AF - AE = \frac { 3 } { 2 } $.
7. 综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形 $ABC$ 作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是(
D
)
A.甲和丙
B.乙和丙
C.甲和乙
D.都正确
答案：7. D 解析：甲：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形.乙：根据内错角相等，两直线平行，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形.丙：先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形.故选 D.
