21. (8 分)为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取 $n$ 名学生的体育成绩进行分段(A：30 分；B：25～29 分；C：20～24 分；D：10～19 分；E：0～9 分)，统计图如图所示：
学业考试体育成绩(分数段)统计图
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是
抽样调查
(填“普查”或“抽样调查”)。
(2)$n =$
$ 240 $
，$a =$
$ 20\% $
，$b =$
$ 60 $
。
(3)补全频数分布直方图。
(4)若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在 $A$ 段所对应扇形的圆心角度数是
$ 72^{\circ} $
。成绩在 25 分以上(含 25 分)定为优秀，那么该市今年 20000 名九年级学生中学业考试体育成绩为优秀的学生约有多少名？
答案：21. （1）抽样调查 解析：在这次调查活动中，随机抽取了 $ n $ 名学生的体育成绩，故为抽样调查.
（2）$ 240 $ $ 20\% $ $ 60 $ 解析：由题意得，$ n = 12÷5\% = 240 $，$ \therefore a=\dfrac{48}{240}×100\% = 20\% $，$ b = 240×25\% = 60 $.
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）$ 72^{\circ} $ $ 20000×(20\%+25\%)=9000 $（名）.
答：该市今年九年级学生中学业考试体育成绩为优秀的学生约有 $ 9000 $ 名.
解析：体育成绩在 $ A $ 段所对应扇形的圆心角度数是 $ 360^{\circ}×20\% = 72^{\circ} $.
22. （8 分）如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $B$ 作 $BM⊥ AC$ 于点 $E$，交 $CD$ 于点 $M$，过点 $D$ 作 $DN⊥ AC$ 于点 $F$，交 $AB$ 于点 $N$。
（1）求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形；
（2）已知 $AF = 12$，$EM = 5$，求 $AN$ 的长。
答案：22. （1）$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore CD// AB $.$ \because BM⊥ AC $，$ DN⊥ AC $，$ \therefore DN// BM $，$ \therefore $ 四边形 $ BMDN $ 是平行四边形.
（2）$ \because $ 四边形 $ BMDN $ 是平行四边形，$ \therefore DM = BN $.$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore CD// AB $ 且 $ CD = AB $，$ \therefore CM = AN $，$ ∠ MCE=∠ NAF $.$ \because ∠ CEM=∠ AFN = 90^{\circ} $，$ \therefore △ CEM≌△ AFN $，$ \therefore FN = EM = 5 $.在 $ \mathrm{Rt}△ AFN $ 中，$ AN=\sqrt{AF^{2}+FN^{2}} = 13 $.
23. （10 分）（2025·合肥期末）2025 年某城市更新与道路品质提升工程招标，有 $A$，$B$ 两家施工队参与投标。经测算：$A$ 队单独完成工程需要 60 天；若 $A$ 队先施工 30 天，再由 $A$，$B$ 两队合作 12 天，共完成总工程量的 $\frac{5}{6}$。
（1）求 $B$ 队单独完成这项工程需要多少天。
（2）已知 $A$ 队施工一天需付工程款 3.5 万元，$B$ 队施工一天需付工程款 2 万元。该工程由 $A$，$B$ 两队先合作若干天，剩余工程由 $B$ 队单独完成，若要求总工程款不超过 195 万元，求 $A$，$B$ 两队最多可合作多少天。
答案：23. （1）设 $ B $ 队单独完成这项工程需要 $ x $ 天，依题意得，$ \dfrac{30 + 12}{60}+\dfrac{12}{x}=\dfrac{5}{6} $，解得 $ x = 90 $，经检验，$ x = 90 $ 是原方程的解，且符合题意.答：$ B $ 队单独完成这项工程需要 $ 90 $ 天.
（2）设 $ A $，$ B $ 两队合作 $ m $ 天，则 $ B $ 队还需单独工作 $ [(1-\dfrac{m}{60}-\dfrac{m}{90})÷\dfrac{1}{90}] $ 天才可完工，依题意得 $ 3.5m + 2[m+(1-\dfrac{m}{60}-\dfrac{m}{90})÷\dfrac{1}{90}]≤195 $，解得 $ m≤30 $.
答：$ A $，$ B $ 两队最多合作 $ 30 $ 天.
