24. (11 分)(2025·南京期末)代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论。
请先完成第(1)题的填空，填写推理的依据，再完成第(2)题的证明。
(1)已知实数 $x$，$y$ 满足 $x ＞ y ＞ 0$，求证：$\sqrt{x}＞\sqrt{y}$。
证明：$\because x ＞ y ＞ 0$，
$\therefore x - y ＞ 0$(①
不等式的基本性质 $ 1 $
)。
$\because x - y = (\sqrt{x})^{2}-(\sqrt{y})^{2}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})$(②
平方差公式
)，
$\therefore (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})＞0$。$\because x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$\therefore \sqrt{x}＞0$，$\sqrt{y}＞0$，$\therefore \sqrt{x}+\sqrt{y}＞0$，$\therefore \sqrt{x}-\sqrt{y}＞0$，$\therefore \sqrt{x}＞\sqrt{y}$。
(2)在三边长分别为 $a$，$b$，$c$($a ＜ b ＜ c$)的三角形中，利用(1)的结论，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$。
答案：24. （1）①不等式的基本性质 $ 1 $ ②平方差公式
（2）$ \because a + b＞ c＞0 $，$ \therefore (\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}＞ c $，$ \therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}＞ c + 2\sqrt{ab} $.$ \because 2\sqrt{ab}＞0 $，$ \therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}＞ c = (\sqrt{c})^{2} $，$ \therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})＞0 $.$ \because \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}＞0 $，$ \therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}＞0 $，$ \therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c} $.
25. (13 分)(2025·泰州期中)【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形。“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”。
【探索实践】
【任务一】
下列四边形中一定是“垂等四边形”的是(
D
)
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【任务二】
如图①，四边形 $ABCD$ 是“垂等四边形”，$∠ BCD = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点 $E$，$F$ 分别是 $BD$，$AD$ 的中点，连接 $CE$，$EF$，以 $CE$，$EF$ 为邻边作平行四边形 $CEFG$。
(1)求证：$∠ ABD = ∠ ACE$；
(2)求证：四边形 $CEFG$ 为正方形。
【任务三】
如图②，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = 2AB$，将 $△ ABD$ 沿对角线 $BD$ 翻折至 $△ EBD$，点 $F$ 在 $BD$ 上，且满足 $BF = CE$，点 $G$ 为 $DE$ 的中点，求证：四边形 $CDFG$ 是“垂等四边形”。
答案：25. 任务一：D 解析：A.平行四边形对角线不互相垂直且不相等，不符合题意；B.矩形对角线相等但不互相垂直，不符合题意；C.菱形对角线垂直但不相等，不符合题意；D.正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，故选 D.
任务二：（1）如图①，$ \because AB = AC $，$ \therefore ∠ ABC=∠ ACB $.$ \because ∠ BCD = 90^{\circ} $，$ E $ 为 $ BD $ 的中点，$ \therefore EC = EB=\dfrac{1}{2}BD $，$ \therefore ∠1=∠2 $，$ \therefore ∠ ABC-∠1=∠ ACB-∠2 $，$ \therefore ∠5=∠4 $，即 $ ∠ ABD=∠ ACE $.
（2）如图①，$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是“垂等四边形”，$ \therefore AC = BD $，$ AC⊥ BD $.$ \because $ 点 $ E $，$ F $ 分别是 $ BD $，$ AD $ 的中点，$ \therefore EF// AB $，$ EF=\dfrac{1}{2}AB $.$ \because AB = AC $，$ \therefore AB = DB $，$ \therefore ∠3=∠5 $.$ \because $ 由上已证 $ EC=\dfrac{1}{2}BD $，$ \therefore EF = EC $.$ \because $ 四边形 $ CEFG $ 为平行四边形，$ \therefore $ 四边形 $ CEFG $ 是菱形.$ \because ∠3=∠5 $，$ ∠5=∠4 $，$ \therefore ∠3=∠4 $.$ \because AC⊥ BD $，$ \therefore ∠4+∠6=∠3+∠6=∠ FEC = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四边形 $ CEFG $ 是正方形.
任务三：如图②，连接 $ AC $，$ AE $，分别交 $ BD $ 于点 $ M $，$ N $.$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ \therefore AM = CM $，$ ∠ BAD = 90^{\circ} $.$ \because $ 将 $ △ ABD $ 沿对角线翻折至 $ △ EBD $，$ \therefore AN = NE $，$ ∠ BED=∠ BAD = 90^{\circ} $，$ AB = BE $，$ DE = AD $，$ \therefore MN $ 是 $ △ AEC $ 的中位线，$ \therefore BF// EC $.$ \because BF = CE $，$ \therefore $ 四边形 $ BECF $ 是平行四边形，$ \therefore BE// CF $，$ BE = CF $.$ \because ∠ BED = 90^{\circ} $，即 $ BE⊥ DE $，$ \therefore CF⊥ DG $，$ \because AD = 2AB $，设 $ AB = x $，则 $ BE = CF = x $，$ DE = AD = 2x $，$ \because $ 点 $ G $ 为 $ DE $ 的中点，$ \therefore DG = x $，$ \therefore DG = CF $，$ \therefore $ 四边形 $ CDFG $ 是“垂等四边形”.
