二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
9. 如果 $a$，$b$ 都是实数，那么 $a + b = b + a$，这个事件是
必然
事件。(填“随机”“不可能”或“必然”)
答案：9. 必然 解析：等式恒成立，故这个事件是必然事件.
10. (2025·梅州期末)若分式方程 $\frac{x - 3}{x - 1} = \frac{m}{x - 1}$ 有增根，则 $m$ 等于
$ -2 $
。
答案：10. $ -2 $ 解析：解分式方程得 $ x = m + 3 $，$ \because $ 方程有增根，$ \therefore x - 1 = 0 $，$ \therefore m + 3 = 1 $，解得 $ m = -2 $.
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$x - 3 = m$，解得$x = m + 3$。
$\because$分式方程有增根，$\therefore x - 1 = 0$，即$x = 1$。
$\therefore m + 3 = 1$，解得$m = -2$。
$-2$
11. (2025·佛山期末)10 名学生，每人做 10 次抛瓶盖的实验，实验数据如下表：
根据表中数据，可以估计：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为
$ 0.67 $
。
答案：11. $ 0.67 $ 解析：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为 $ \dfrac{6 + 4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 7 + 5 + 8}{100}=0.67 $.
解析：
$\dfrac{6 + 4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 7 + 5 + 8}{10×10}=0.67$
12. 小宇利用尺规在 $□ ABCD$ 内作出点 $E$，又在 $BC$ 边上作出点 $F$，作图痕迹如图所示，若 $EF = 2$，则 $AB$，$CD$ 之间的距离为
$ 4 $
。
答案：12. $ 4 $ 解析：如图，过点 $ E $ 作 $ EM⊥ CD $ 于点 $ M $，$ ME $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ N $.由作图可知，$ BE $ 平分 $ ∠ ABC $，$ CE $ 平分 $ ∠ BCD $.$ \because AB// CD $，$ EM⊥ CD $，$ \therefore EN⊥ BA $.$ \because EF⊥ BC $，$ \therefore EN = EF = 2 $，$ EM = EF = 2 $，$ MN = EN + EM = 4 $，$ \therefore AB $，$ CD $ 之间的距离为 $ 4 $.
13. 比较大小：$\sqrt{2}+\sqrt{3}\_\_\_\_\_\_\sqrt{10}$。(填“＞”“＜”或“=”)
答案：13. $ ＜ $ 解析：$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=2 + 3 + 2\sqrt{6}=5 + 2\sqrt{6} $，$ (\sqrt{10})^{2}=10 $，$ \because (2\sqrt{6})^{2}=24＜25 $，$ \therefore 2\sqrt{6}＜5 $，$ \therefore 5 + 2\sqrt{6}＜10 $，即 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}＜\sqrt{10} $.
14. 已知等式 $\sqrt{\frac{7 - x}{x + 2}} = \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{x + 2}}$ 成立，则 $\sqrt{x^{2}+6x + 9}+\sqrt{81 - 18x + x^{2}}=$
$ 12 $
。
答案：14. $ 12 $ 解析：由题意得 $ \begin{cases}7 - x≥0,\\x + 2＞0,\end{cases} $ 解得 $ -2＜ x≤7 $，$ \therefore $ 原式 $ =\sqrt{(x + 3)^{2}}+\sqrt{(x - 9)^{2}}=x + 3 + 9 - x = 12 $.
解析：
由题意得$\begin{cases}7 - x≥0\\x + 2＞0\end{cases}$，解得$-2 ＜ x≤7$。
$\sqrt{x^{2}+6x + 9}+\sqrt{81 - 18x + x^{2}}=\sqrt{(x + 3)^{2}}+\sqrt{(x - 9)^{2}}$
因为$-2 ＜ x≤7$，所以$x + 3＞0$，$x - 9＜0$，则原式$=x + 3 + 9 - x = 12$。
$12$
15. (青岛中考)如图，在正方形纸片 $ABCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 的中点，将正方形纸片折叠，点 $B$ 落在线段 $AE$ 上的点 $G$ 处，折痕为 $AF$。若 $AD = 4cm$，则 $CF$ 的长为
$ (6 - 2\sqrt{5}) $
$cm$。
答案：15. $ (6 - 2\sqrt{5}) $ 解析：设 $ BF = x\ \mathrm{cm} $，则 $ FG = x\ \mathrm{cm} $，$ CF = (4 - x)\ \mathrm{cm} $.在 $ \mathrm{Rt}△ ADE $ 中，利用勾股定理可得 $ AE = 2\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $.根据折叠的性质可知 $ AG = AB = 4\ \mathrm{cm} $，所以 $ GE = (2\sqrt{5} - 4)\ \mathrm{cm} $.在 $ \mathrm{Rt}△ GEF $ 中，利用勾股定理可得 $ EF^{2}=(2\sqrt{5} - 4)^{2}+x^{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ FCE $ 中，利用勾股定理可得 $ EF^{2}=(4 - x)^{2}+2^{2} $，所以 $ (2\sqrt{5} - 4)^{2}+x^{2}=(4 - x)^{2}+2^{2} $，解得 $ x = 2\sqrt{5} - 2 $，则 $ CF = 4 - (2\sqrt{5} - 2)=(6 - 2\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $.
解析：
解：设 $ BF = x\ \mathrm{cm} $，则 $ FG = x\ \mathrm{cm} $，$ CF = (4 - x)\ \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ADE $ 中，$ AD = 4\ \mathrm{cm} $，$ DE = \frac{1}{2}CD = 2\ \mathrm{cm} $，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $
由折叠性质知 $ AG = AB = 4\ \mathrm{cm} $，则 $ GE = AE - AG = (2\sqrt{5} - 4)\ \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt}△GEF $ 中，$ EF^2 = GE^2 + FG^2 = (2\sqrt{5} - 4)^2 + x^2 $；
在 $ \mathrm{Rt}△FCE $ 中，$ CE = 2\ \mathrm{cm} $，$ CF = (4 - x)\ \mathrm{cm} $，则 $ EF^2 = CF^2 + CE^2 = (4 - x)^2 + 2^2 $。
因此：
$ (2\sqrt{5} - 4)^2 + x^2 = (4 - x)^2 + 2^2 $
展开并化简得：
$ 20 - 16\sqrt{5} + 16 + x^2 = 16 - 8x + x^2 + 4 $
$ 36 - 16\sqrt{5} = 20 - 8x $
$ 8x = 16\sqrt{5} - 16 $
$ x = 2\sqrt{5} - 2 $
则 $ CF = 4 - x = 4 - (2\sqrt{5} - 2) = (6 - 2\sqrt{5})\ \mathrm{cm} $。
答案：$ 6 - 2\sqrt{5} $
16. (2024·平顶山校级月考)已知菱形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 $A(5,0)$，$OB = 4\sqrt{5}$，点 $P$ 是对角线 $OB$ 上的一个动点，$D(0,1)$，当 $CP + DP$ 最短时，点 $P$ 的坐标为
$ (\dfrac{10}{7},\dfrac{5}{7}) $
。
答案：16. $ (\dfrac{10}{7},\dfrac{5}{7}) $ 解析：如图，连接 $ AC $，$ AD $，分别交 $ OB $ 于点 $ G $，$ P $，连接 $ CP $，作 $ BK⊥ OA $ 于点 $ K $.$ \because $ 四边形 $ OABC $ 是菱形，$ \therefore AC⊥ OB $，$ GC = AG $，$ AB = OA = 5 $，$ OG = BG=\dfrac{1}{2}OB = 2\sqrt{5} $.$ \because A $，$ C $ 关于直线 $ OB $ 对称，$ \therefore PC + PD = PA + PD = DA $，$ \therefore $ 此时 $ PC + PD $ 最短.在 $ \mathrm{Rt}△ AOG $ 中，$ AG=\sqrt{OA^{2}-OG^{2}}=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5} $，$ \therefore AC = 2\sqrt{5} $.$ \because OA· BK=\dfrac{1}{2}AC· OB $，$ \therefore BK = 4 $.在 $ \mathrm{Rt}△ AKB $ 中，$ AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3 $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (8,4) $.用待定系数法可求得直线 $ OB $ 的表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x $，直线 $ AD $ 的表达式为 $ y=-\dfrac{1}{5}x + 1 $，由 $ \begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x,\\y=-\dfrac{1}{5}x + 1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{10}{7},\\y=\dfrac{5}{7}.\end{cases} $ $ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\dfrac{10}{7},\dfrac{5}{7}) $.
三、解答题（共 72 分）
17. （6 分）计算：
（1）$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
（2）$(1 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)^{2}$。
答案：17. （1）原式 $ =\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6} $.
（2）原式 $ =1 - 5 + 2 - 2\sqrt{5}=1 - 2\sqrt{5} $.
18. （6 分）因式分解：
（1）$3x^{2}+6xy + 3y^{2}$；
（2）$(m - 3)m^{2}-4(m - 3)$。
答案：18. （1）原式 $ =3(x^{2}+2xy + y^{2})=3(x + y)^{2} $.
（2）原式 $ =(m - 3)(m^{2}-4)=(m - 3)(m + 2)(m - 2) $.
19. （6 分）解方程：
（1）（镇江中考）$\frac{x}{x + 2}=\frac{2}{x - 1}+1$；
（2）$\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{1}{2x - 6}=\frac{1}{2x + 6}$。
答案：19. （1）等式两边都乘 $ (x - 1)(x + 2) $，得 $ x(x - 1)=2(x + 2)+(x - 1)·(x + 2) $，解得 $ x=-\dfrac{1}{2} $，检验：当 $ x=-\dfrac{1}{2} $ 时，$ (x - 1)·(x + 2)≠0 $，$ \therefore $ 原分式方程的解为 $ x=-\dfrac{1}{2} $.
（2）原方程化为 $ \dfrac{3}{(x + 3)(x - 3)}-\dfrac{1}{2(x - 3)}=\dfrac{1}{2(x + 3)} $，方程两边都乘 $ 2(x + 3)(x - 3) $，得 $ 6 - (x + 3)=x - 3 $，解得 $ x = 3 $，检验：当 $ x = 3 $ 时，$ 2(x + 3)(x - 3)=0 $，$ \therefore x = 3 $ 是增根，即原方程无解.
20. （4 分）（广元中考）先化简，再求值：$(\frac{3x + y}{x^{2}-y^{2}}+\frac{2x}{y^{2}-x^{2}})÷\frac{2}{x^{2}y - xy^{2}}$，其中 $x = \sqrt{3}+1$，$y = \sqrt{3}$。
答案：20. 原式 $ =\dfrac{3x + y - 2x}{x^{2}-y^{2}}·\dfrac{xy(x - y)}{2}=\dfrac{x + y}{(x + y)(x - y)}·\dfrac{xy(x - y)}{2}=\dfrac{xy}{2} $，当 $ x=\sqrt{3}+1 $，$ y=\sqrt{3} $ 时，原式 $ =\dfrac{(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} $.
解析：
解：原式$=(\dfrac{3x + y}{x^{2}-y^{2}}+\dfrac{2x}{y^{2}-x^{2}})÷\dfrac{2}{x^{2}y - xy^{2}}$
$=\dfrac{3x + y - 2x}{x^{2}-y^{2}}·\dfrac{xy(x - y)}{2}$
$=\dfrac{x + y}{(x + y)(x - y)}·\dfrac{xy(x - y)}{2}$
$=\dfrac{xy}{2}$
当$x = \sqrt{3}+1$，$y = \sqrt{3}$时，
原式$=\dfrac{(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
