1. 已知$y = -\sqrt{\dfrac{1}{x - 2}}$，则在平面直角坐标系中，点$P(x, y)$所在的象限为(
D
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：1. D 解析：由二次根式的非负性可得 $ x - 2 ≥ 0 $，由分式有意义的条件可得 $ x - 2 ≠ 0 $，$ \therefore x - 2 ＞ 0 $，即 $ x ＞ 2 $，$ \therefore y = - \sqrt { \frac { 1 } { x - 2 } } ＜ 0 $，$ \therefore $ 点 $ P ( x , y ) $ 所在的象限为第四象限，故选 D.
2. 已知代数式$\sqrt{a - 2024} - \sqrt{2025 - a}$，下列说法不正确的是(
D
)
A.代数式有最大值
B.代数式有最小值
C.代数式值随$a$的增大而增大
D.代数式值不可能为$0$
答案：2. D 解析：$ \because $ 代数式 $ \sqrt { a - 2024 } - \sqrt { 2025 - a } $，$ \therefore a - 2024 ≥ 0 $，$ 2025 - a ≥ 0 $，即 $ 2024 ≤ a ≤ 2025 $，$ a $ 越大，则 $ \sqrt { a - 2024 } $ 越大，$ \sqrt { 2025 - a } $ 越小，则 $ \sqrt { a - 2024 } - \sqrt { 2025 - a } $ 越大，故当 $ a = 2025 $ 时，$ \sqrt { a - 2024 } - \sqrt { 2025 - a } $ 有最大值，当 $ a = 2024 $ 时，$ \sqrt { a - 2024 } - \sqrt { 2025 - a } $ 有最小值，当 $ \sqrt { a - 2024 } = \sqrt { 2025 - a } $ 时，$ a - 2024 = 2025 - a $，解得 $ a = \frac { 4049 } { 2 } $，即当 $ a = \frac { 4049 } { 2 } $ 时，代数式值为 0，故选 D.
3. 已知等腰三角形的两边长分别为$a$，$b$，且$a$，$b$满足$\sqrt{2a - 3b + 5} + (3a - 2b - 10)^2 = 0$，则此等腰三角形的周长为
22 或 23
。
答案：3. 22 或 23 解析：由二次根式的非负性可得 $ 2 a - 3 b + 5 = 0 $ 且 $ 3 a - 2 b - 10 = 0 $，解得 $ a = 8 $，$ b = 7 $，$ \because $ 等腰三角形的两边长分别为 $ a $，$ b $，当 $ a $ 为腰时，等腰三角形的周长为 $ 2 × 8 + 7 = 23 $；当 $ b $ 为腰时，等腰三角形的周长为 $ 2 × 7 + 8 = 22 $，故答案为 22 或 23.
解析：
由二次根式和平方的非负性可得：
$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\3a - 2b - 10 = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = 8 \\b = 7\end{cases}$
当腰长为 $a = 8$ 时，周长为 $2×8 + 7 = 23$；
当腰长为 $b = 7$ 时，周长为 $2×7 + 8 = 22$。
故此等腰三角形的周长为 22 或 23。
4. 已知$m$，$x$，$y$是两两不相等的实数，且满足$\sqrt{m(x - m)} + \sqrt{m(y - m)} = \sqrt{x - m} - \sqrt{m - y}$，则$\dfrac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + 5y^2}$的值为
$ \frac { 1 } { 7 } $
。
答案：4. $ \frac { 1 } { 7 } $ 解析：$ \because m $，$ x $，$ y $ 是两两不相等的实数且满足 $ \sqrt { m ( x - m ) } + \sqrt { m ( y - m ) } = \sqrt { x - m } - \sqrt { m - y } $，则 $ \{ \begin{array} { l } { m - y ≥ 0 , } \\ { x - m ≥ 0 , } \\ { m ( y - m ) ≥ 0 , } \\ { m ( x - m ) ≥ 0 , } \end{array} $ $ \therefore m = 0 $，$ x = - y $，$ x ≠ 0 $，$ y ≠ 0 $，$ \therefore $ 原式 $ = \frac { 3 y ^ { 2 } - y ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 7 } $.
解析：
由题意得，要使根式有意义，则：
$\begin{cases}m - y ≥ 0 \\x - m ≥ 0 \\m(x - m) ≥ 0 \\m(y - m) ≥ 0\end{cases}$
由$x - m ≥ 0$和$m(x - m) ≥ 0$，可得$m ≥ 0$；由$m - y ≥ 0$即$y - m ≤ 0$和$m(y - m) ≥ 0$，可得$m ≤ 0$，故$m = 0$。
将$m = 0$代入原式得：$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{x - 0} - \sqrt{0 - y}$，即$0 = \sqrt{x} - \sqrt{-y}$，所以$\sqrt{x} = \sqrt{-y}$，则$x = -y$（$x ≠ 0$，$y ≠ 0$，因为$m$，$x$，$y$两两不相等）。
将$x = -y$代入$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + 5y^2}$得：
$\begin{aligned}&\frac{3(-y)^2 + (-y)y - y^2}{(-y)^2 - (-y)y + 5y^2}\\=&\frac{3y^2 - y^2 - y^2}{y^2 + y^2 + 5y^2}\\=&\frac{y^2}{7y^2}\\=&\frac{1}{7}\end{aligned}$
$\frac{1}{7}$
5. 设$x$，$y$均为实数，且$y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 3} + \sqrt{3 - x^2}}{\sqrt{1 - x}} + 2$，求$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}$的值。
答案：5. 由题意得，$ x ^ { 2 } - 3 ≥ 0 $，$ 3 - x ^ { 2 } ≥ 0 $，$ 1 - x ＞ 0 $，解得 $ x = - \sqrt { 3 } $，则 $ y = 2 $，$ \therefore \frac { y } { x } + \frac { x } { y } = - \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = - \frac { 7 \sqrt { 3 } } { 6 } $.
解析：
要使函数有意义，则需满足：
$\begin{cases}x^2 - 3 ≥ 0 \\3 - x^2 ≥ 0 \\1 - x ＞ 0\end{cases}$
由$x^2 - 3 ≥ 0$和$3 - x^2 ≥ 0$可得$x^2 = 3$，即$x = \pm \sqrt{3}$。又因为$1 - x ＞ 0$，即$x ＜ 1$，所以$x = -\sqrt{3}$。
将$x = -\sqrt{3}$代入$y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 3} + \sqrt{3 - x^2}}{\sqrt{1 - x}} + 2$，可得$y = 2$。
则$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{-\sqrt{3}} + \dfrac{-\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{4\sqrt{3}}{6} - \dfrac{3\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{7\sqrt{3}}{6}$。
$-\dfrac{7\sqrt{3}}{6}$
6. 若$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则化简$2\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2 - ab + b^2}$的结果为(
C
)
A.$a - 2b$
B.$2a - b$
C.$2b - a$
D.$b - 2a$
答案：6. C 解析：$ 2 \sqrt { \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } } = 2 \sqrt { ( \frac { 1 } { 2 } a - b ) ^ { 2 } } = 2 \left| \frac { 1 } { 2 } a - b \right| $，当 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $ 时，$ \frac { 1 } { 2 } a - b ＜ 0 $，$ \therefore $ 原式 $ = 2 ( b - \frac { 1 } { 2 } a ) = 2 b - a $，故选 C.
7. (2025·株洲期末)已知一次函数：$y = mx + n$的图象经过第一、三、四象限，则化简$\sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2}$的结果是(
D
)
A.$n$
B.$-m$
C.$2m - n$
D.$m - 2n$
答案：7. D 解析：$ \because $ 一次函数 $ y = m x + n $ 的图象经过第一、三、四象限，$ \therefore m ＞ 0 $，$ n ＜ 0 $，$ \therefore $ 原式 $ = | m - n | + | n | = m - n - n = m - 2 n $，故选 D.
8. (1)若$a$，$b$，$c$分别是三角形的三边长，则$\sqrt{(a + b - c)^2} + \sqrt{(b - c - a)^2} + \sqrt{(b + c - a)^2} =$
$ a + b + c $
；
(2)已知三角形的两边长分别为$3$和$5$，第三边长为$c$，则$\sqrt{c^2 + 4 - 4c} - \sqrt{\dfrac{1}{4}c^2 - 4c + 16} =$
$ \frac { 3 } { 2 } c - 6 $
。
答案：8. (1) $ a + b + c $ 解析：$ \because a $，$ b $，$ c $ 分别是三角形的三边长，$ \therefore a + b - c ＞ 0 $，$ b - c - a ＜ 0 $，$ b + c - a ＞ 0 $，$ \therefore $ 原式 $ = | a + b - c | + | b - c - a | + | b + c - a | = a + b - c - ( b - c - a ) + b + c - a = a + b - c - b + c + a + b + c - a = a + b + c $.
(2) $ \frac { 3 } { 2 } c - 6 $ 解析：由三角形三边关系定理，得 $ 3 + 5 ＞ c $，$ 5 - 3 ＜ c $，即 $ 2 ＜ c ＜ 8 $，$ \therefore $ 原式 $ = \sqrt { ( c - 2 ) ^ { 2 } } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } ( c - 8 ) ^ { 2 } } = | c - 2 | - \frac { 1 } { 2 } | c - 8 | = c - 2 - \frac { 1 } { 2 } ( 8 - c ) = \frac { 3 } { 2 } c - 6 $.
9. 化简$\sqrt{4x^2 - 4x + 1} - (\sqrt{2x - 3})^2 =$
2
。
答案：9. 2 解析：由 $ \sqrt { 2 x - 3 } $ 有意义，可知 $ 2 x - 3 ≥ 0 $，即 $ 2 x ≥ 3 $，$ \therefore \sqrt { 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } - ( \sqrt { 2 x - 3 } ) ^ { 2 } = \sqrt { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } - ( 2 x - 3 ) = 2 x - 1 - 2 x + 3 = 2 $.
解析：
由$\sqrt{2x - 3}$有意义，得$2x - 3 ≥ 0$，即$x ≥ \frac{3}{2}$。
$\sqrt{4x^2 - 4x + 1} - (\sqrt{2x - 3})^2 = \sqrt{(2x - 1)^2} - (2x - 3)$
因为$x ≥ \frac{3}{2}$，所以$2x - 1 ≥ 2×\frac{3}{2} - 1 = 2 ＞ 0$，则$\sqrt{(2x - 1)^2} = 2x - 1$。
原式$= 2x - 1 - (2x - 3) = 2x - 1 - 2x + 3 = 2$。
2
10. 若$\vert a - \sqrt{a^2} \vert = -2a$，则$a$的取值范围是
$ a ≤ 0 $
。
答案：10. $ a ≤ 0 $ 解析：当 $ a ＞ 0 $ 时，$ | a - \sqrt { a ^ { 2 } } | = | a - a | = 0 ≠ - 2 a $，当 $ a = 0 $ 时，$ | a - \sqrt { a ^ { 2 } } | = 0 $，$ - 2 a = 0 $，满足题意；当 $ a ＜ 0 $ 时，$ | a - \sqrt { a ^ { 2 } } | = | a + a | = - 2 a $，满足题意，$ \therefore a $ 的取值范围是 $ a ≤ 0 $.
解析：
当 $a ＞ 0$ 时，$\vert a - \sqrt{a^2}\vert = \vert a - a\vert = 0$，$-2a ＜ 0$，等式不成立；
当 $a = 0$ 时，$\vert 0 - \sqrt{0^2}\vert = 0$，$-2a = 0$，等式成立；
当 $a ＜ 0$ 时，$\vert a - \sqrt{a^2}\vert = \vert a - (-a)\vert = \vert 2a\vert = -2a$，等式成立；
综上，$a$ 的取值范围是 $a ≤ 0$。
11. 已知$a$，$b$满足$\vert 2023 - a \vert - (b - 2024) · \sqrt{2024 - b} = \sqrt{c - 2025} + \sqrt{2025 - c}$，则$\dfrac{c^2 - a^2}{b} =$
4
。
答案：11. 4 解析：$ \because a $，$ b $ 满足 $ | 2023 - a | - ( b - 2024 ) \sqrt { 2024 - b } = \sqrt { c - 2025 } + \sqrt { 2025 - c } $，又 $ \because \{ \begin{array} { l } { c - 2025 ≥ 0 , } \\ { 2025 - c ≥ 0 , } \end{array} $ $ \therefore c = 2025 $，$ \therefore | 2023 - a | + ( 2024 - b ) \sqrt { 2024 - b } = 0 $，$ \therefore 2023 - a = 0 $，$ 2024 - b = 0 $，$ \therefore a = 2023 $，$ b = 2024 $，则 $ \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { b } = \frac { 2025 ^ { 2 } - 2023 ^ { 2 } } { 2024 } = \frac { ( 2025 + 2023 ) × ( 2025 - 2023 ) } { 2024 } = 4 $.
解析：
由题意得，要使$\sqrt{c - 2025}$和$\sqrt{2025 - c}$有意义，则$\begin{cases}c - 2025≥0\\2025 - c≥0\end{cases}$，解得$c = 2025$。
此时原等式化为$\vert2023 - a\vert - (b - 2024)\sqrt{2024 - b}=0$，即$\vert2023 - a\vert + (2024 - b)\sqrt{2024 - b}=0$。
因为$\vert2023 - a\vert≥0$，$\sqrt{2024 - b}≥0$，$2024 - b≥0$，所以$2023 - a = 0$，$2024 - b = 0$，解得$a = 2023$，$b = 2024$。
则$\dfrac{c^2 - a^2}{b}=\dfrac{2025^2 - 2023^2}{2024}=\dfrac{(2025 + 2023)(2025 - 2023)}{2024}=\dfrac{4048×2}{2024}=4$。
4
12. 若$a$，$b$，$c$满足$\sqrt{2a - 5b + 5 + c} + \sqrt{3a - 3b - c} = \sqrt{5 - a + b} + \sqrt{a - b - 5}$，求$a$，$b$，$c$的值。
答案：12. 由二次根式有意义的条件可知 $ 5 - a + b ≥ 0 $，$ a - b - 5 ≥ 0 $，即 $ a - b ≤ 5 $，$ a - b ≥ 5 $，则 $ a - b = 5 $，$ \therefore \sqrt { 2 a - 5 b + 5 + c } + \sqrt { 3 a - 3 b - c } = 0 $，$ \therefore 3 a - 3 b - c = 0 $，$ 2 a - 5 b + 5 + c = 0 $，解得 $ c = 15 $，$ \therefore \{ \begin{array} { l } { a - b = 5 , } \\ { 2 a - 5 b = - 20 , } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { a = 15 , } \\ { b = 10 , } \end{array} $ $ \therefore a = 15 $，$ b = 10 $，$ c = 15 $.
解析：
由二次根式有意义的条件可知：
$5 - a + b ≥ 0$，$a - b - 5 ≥ 0$，
即$a - b ≤ 5$，$a - b ≥ 5$，
则$a - b = 5$，
$\therefore \sqrt{2a - 5b + 5 + c} + \sqrt{3a - 3b - c} = 0$，
$\therefore \begin{cases}2a - 5b + 5 + c = 0 \\ 3a - 3b - c = 0\end{cases}$，
由$3a - 3b - c = 0$得$c = 3a - 3b = 3(a - b) = 3×5 = 15$，
将$c = 15$代入$2a - 5b + 5 + c = 0$得$2a - 5b + 5 + 15 = 0$，即$2a - 5b = -20$，
联立$\begin{cases}a - b = 5 \\ 2a - 5b = -20\end{cases}$，
由$a - b = 5$得$a = b + 5$，代入$2a - 5b = -20$，
$2(b + 5) - 5b = -20$，$2b + 10 - 5b = -20$，$-3b = -30$，$b = 10$，
$\therefore a = 10 + 5 = 15$，
$\therefore a = 15$，$b = 10$，$c = 15$。
13. 设$m = \sqrt{8 - a} + \sqrt{4\sqrt{a - 4} + a} + \sqrt{-4\sqrt{a - 4} + a}$，求$m$的最小值。
答案：13. 由题意可得 $ 4 ≤ a ≤ 8 $，$ \therefore m = \sqrt { 8 - a } + \sqrt { ( a - 4 ) + 4 \sqrt { a - 4 } + 4 } + \sqrt { ( a - 4 ) - 4 \sqrt { a - 4 } + 4 } = \sqrt { 8 - a } + \sqrt { a - 4 } + 2 + | \sqrt { a - 4 } - 2 | $. $ \because 4 ≤ a ≤ 8 $，$ \therefore \sqrt { a - 4 } ≤ 2 $，$ \therefore m = \sqrt { 8 - a } + \sqrt { a - 4 } + 2 - \sqrt { a - 4 } + 2 = \sqrt { 8 - a } + 4 $，$ \therefore $ 当 $ a $ 取最大值 8 时，$ m $ 取最小值 4，故 $ m $ 的最小值为 4.
解析：
由题意得，$8 - a ≥ 0$且$a - 4 ≥ 0$，即$4 ≤ a ≤ 8$。
$m = \sqrt{8 - a} + \sqrt{4\sqrt{a - 4} + a} + \sqrt{-4\sqrt{a - 4} + a}$
$= \sqrt{8 - a} + \sqrt{(\sqrt{a - 4})^2 + 4\sqrt{a - 4} + 2^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 4})^2 - 4\sqrt{a - 4} + 2^2}$
$= \sqrt{8 - a} + \sqrt{(\sqrt{a - 4} + 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 4} - 2)^2}$
$= \sqrt{8 - a} + \sqrt{a - 4} + 2 + |\sqrt{a - 4} - 2|$
因为$4 ≤ a ≤ 8$，所以$0 ≤ \sqrt{a - 4} ≤ 2$，则$|\sqrt{a - 4} - 2| = 2 - \sqrt{a - 4}$
$\therefore m = \sqrt{8 - a} + \sqrt{a - 4} + 2 + 2 - \sqrt{a - 4} = \sqrt{8 - a} + 4$
当$a = 8$时，$\sqrt{8 - a} = 0$，$m$取得最小值$4$。
故$m$的最小值为$4$。
