1. 把$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}$分母有理化后得(
D
)
A.$4b$
B.$2\sqrt{b}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{b}$
D.$\frac{\sqrt{b}}{2b}$
答案：1. D 解析：$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}=\frac{1}{\sqrt{4b}}=\frac{\sqrt{b}}{2b}$。故选 D。
2. 化简：
(1) $\frac{6}{\sqrt{3}}=$
$2\sqrt{3}$
； (2) $\frac{-9\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=$
$-\sqrt{6}$
。
答案：2. (1) $2\sqrt{3}$ 解析：$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
(2) $-\sqrt{6}$ 解析：$\frac{-9\sqrt{2}}{\sqrt{27}}=\frac{-9\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{-9\sqrt{6}}{3×3}=-\sqrt{6}$。
3. 满足$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜x＜\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$的整数$x$的个数是(
C
)
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案：3. C 解析：$\because\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\approx3.1,\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=2×(\sqrt{6}+\sqrt{5})\approx9.4,\therefore$满足$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}＜ x＜\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$的整数 $x$ 有 $4,5,6,7,8,9$，共 6 个。故选 C。
4. 已知$m=\sqrt{6}+2$，$n=\sqrt{6}-2$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为
$\sqrt{6}$
。
答案：4. $\sqrt{6}$ 解析：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{6}+2}+\frac{1}{\sqrt{6}-2}=\frac{\sqrt{6}-2+\sqrt{6}+2}{(\sqrt{6}+2)×(\sqrt{6}-2)}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$。
一题多解 $\because m=\sqrt{6}+2,n=\sqrt{6}-2,\therefore m+n=\sqrt{6}+2+\sqrt{6}-2=2\sqrt{6},mn=(\sqrt{6}+2)×(\sqrt{6}-2)=2,\therefore\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$。
5. 若$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$A=\frac{1}{1-\sqrt[4]{3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{3}}+(\frac{1}{1-\sqrt[4]{3}})^0$，则$[A]=$
$-2$
。
答案：5. $-2$ 解析：$A=\frac{1}{1-\sqrt[4]{3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{3}}+(\frac{1}{1-\sqrt[4]{3}})^{0}=\frac{1+\sqrt[4]{3}}{(1-\sqrt[4]{3})×(1+\sqrt[4]{3})}+\frac{1-\sqrt[4]{3}}{(1+\sqrt[4]{3})×(1-\sqrt[4]{3})}+1$，那么 $A=\frac{1+\sqrt[4]{3}}{1-\sqrt{3}}+\frac{1-\sqrt[4]{3}}{1-\sqrt{3}}+1=\frac{2}{1-\sqrt{3}}+1=\frac{2×(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}+1=-1-\sqrt{3}+1=-\sqrt{3},\therefore -2＜ A＜ -1,[A]=-2$。
6. 已知$m$是正整数，$a=\frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}$，$b=\frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}$，$a+b+3ab=2025$，求$m$的值。
答案：6. $\because a=\frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}},b=\frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}$，分母有理化得 $a=(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^{2},b=(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^{2},ab=1,\therefore a+b=(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^{2}+(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^{2}=4m+2.\because a+b+3ab=2025,\therefore 4m+2+3=2025,\therefore m=505$。
解析：
$\because a=\frac{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}$，$b=\frac{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}{\sqrt{m+1}-\sqrt{m}}$，
分母有理化得：
$a=\frac{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})}=(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2$，
$b=\frac{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2}{(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})}=(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2$，
$\therefore ab=(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2=[(\sqrt{m+1})^2-(\sqrt{m})^2]^2=(m+1 - m)^2=1$，
$a+b=(\sqrt{m+1}-\sqrt{m})^2+(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^2$
$=(m+1 - 2\sqrt{m(m+1)} + m)+(m+1 + 2\sqrt{m(m+1)} + m)$
$=2m + 1 + 2m + 1=4m + 2$，
$\because a + b + 3ab = 2025$，
$\therefore 4m + 2 + 3×1=2025$，
$4m + 5=2025$，
$4m=2020$，
$\therefore m=505$。
7. 化简：(1) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$； (2) $\frac{7+4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$；
(3) $\frac{x-2+\sqrt{x^2-4}}{x+2+\sqrt{x^2-4}}(x＞2)$。
答案：7. (1) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$。
(2) $\frac{7+4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^{2}}{2+\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$。
(3) $\because x＞ 2,\therefore\frac{x-2+\sqrt{x^{2}-4}}{x+2+\sqrt{x^{2}-4}}=\frac{(\sqrt{x-2})^{2}+\sqrt{(x+2)(x-2)}}{(\sqrt{x+2})^{2}+\sqrt{(x+2)(x-2)}}=\frac{\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})}{\sqrt{x+2}(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})}=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+2}$。
8. 化简：$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}$。
答案：8. $\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$。
解析：
$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}$
$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}$
$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}$
$=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$
9. 化简：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$。
答案：9. 原式 $=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}-3}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+5}{\sqrt{10}+2}=\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+5)×(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10}+2)×(\sqrt{10}-2)}=\frac{3\sqrt{10}-3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$。
解析：
原式$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}-2(\sqrt{2}+\sqrt{5})\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{2+2\sqrt{10}+5-2\sqrt{6}-2\sqrt{15}+3}{2+2\sqrt{10}+5-3}$
$=\frac{10+2\sqrt{10}-2\sqrt{6}-2\sqrt{15}}{4+2\sqrt{10}}$
$=\frac{2(5+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{15})}{2(2+\sqrt{10})}$
$=\frac{(5+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{15})(\sqrt{10}-2)}{(2+\sqrt{10})(\sqrt{10}-2)}$
$=\frac{5\sqrt{10}-10+10-2\sqrt{10}-\sqrt{60}+2\sqrt{6}-\sqrt{150}+2\sqrt{15}}{10-4}$
$=\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{15}+2\sqrt{6}-5\sqrt{6}+2\sqrt{15}}{6}$
$=\frac{3\sqrt{10}-3\sqrt{6}}{6}$
$=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$
