1. 下列等式正确的是(
B
)
A.$\sqrt{(-2)^{2}} = -2$
B.$(\sqrt{2})^{2} = 2$
C.$-\sqrt{(-2)^{2}} = 2$
D.$(-\sqrt{2})^{2} = -2$
答案：1. B 解析：A. $\sqrt{(-2)^{2}} = 2$，原式计算错误；B. $(\sqrt{2})^{2} = 2$，原式计算正确；C. $-\sqrt{(-2)^{2}} = -\sqrt{2^{2}} = -2$，原式计算错误；D. $(-\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$，原式计算错误. 故选 B.
2. (2025·宜昌期中)实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$的结果为(
B
)
A.$2(b - a)$
B.$-2b$
C.$2a$
D.$0$
答案：2. B 解析：由数轴可得 $b ＞ 0 ＞ a$，$\therefore a - b ＜ 0$，$\therefore \sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} = |a| - |b| - |a - b| = -a - b + a - b = -2b$. 故选 B.
3. 计算：
(1) (2024·德阳中考)$\sqrt{(-3)^{2}} =$
3
；
(2) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$
$\sqrt{3} - 1$
；
(3) $\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} =$
$a^{2} + 1$
；
(4) $\sqrt{(π - 3)^{2}} + \sqrt{(π - 4)^{2}} =$
1
。
答案：3. (1) $3$ 解析：原式 $= | - 3| = 3$.
(2) $\sqrt{3} - 1$ 解析：原式 $= |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$.
(3) $a^{2} + 1$ 解析：原式 $= |a^{2} + 1| = a^{2} + 1$.
(4) $1$ 解析：原式 $= |π - 3| + |π - 4| = π - 3 - (π - 4) = 1$.
4. (1)若$\sqrt{(a - 2)^{2}} = (\sqrt{a - 2})^{2}$成立，则$a$的取值范围是
$a ≥ 2$
；
(2) (2025·聊城期末)若$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = 1 - 2a$，则$a$的取值范围是
$a ≤ \frac{1}{2}$
。
答案：4. (1) $a ≥ 2$ 解析：$\sqrt{(a - 2)^{2}} = |a - 2|$，$(\sqrt{a - 2})^{2} = a - 2$，且 $a - 2 ≥ 0$，则当 $a - 2 ≥ 0$ 时等式成立，得 $a ≥ 2$.
(2) $a ≤ \frac{1}{2}$ 解析：$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = |2a - 1| = 1 - 2a$，则当 $2a - 1 ≤ 0$ 时等式成立，得 $a ≤ \frac{1}{2}$.
5. 若$x ＜ 0$，则$x - \sqrt{x^{2}} =$
$-2x$
。
答案：5. $-2x$ 解析：当 $x ＜ 0$ 时，$|x - \sqrt{x^{2}}| = |x - |x|| = |x + x| = -2x$.
解析：
当$x ＜ 0$时，$\sqrt{x^2} = |x| = -x$，则$|x - \sqrt{x^2}| = |x - (-x)| = |x + x| = |2x|$。因为$x ＜ 0$，所以$2x ＜ 0$，$|2x| = -2x$。
$-2x$
6. 已知点$Q(3 - a, 5 - a)$在第二象限，化简：$\sqrt{a^{2} - 4a + 4} + \sqrt{a^{2} - 10a + 25}$。
答案：6. $\because$ 点 $Q(3 - a,5 - a)$ 在第二象限，$\therefore 3 - a ＜ 0$，$5 - a ＞ 0$，解得 $3 ＜ a ＜ 5$，$\therefore$ 原式 $= \sqrt{(a - 2)^{2}} + \sqrt{(a - 5)^{2}} = |a - 2| + |a - 5| = a - 2 - (a - 5) = a - 2 - a + 5 = 3$.
7. 新趋势 过程性学习 (2025·天津期中)求代数式$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}}$的值，其中$a = 1013$，如图所示的是小亮和小芳的解答过程。
(1)
小亮
的解法是错误的；
(2)求代数式$a + 2\sqrt{a^{2} - 6a + 9}$的值，其中$a = -2025$。
答案：7. (1) 小亮 解析：$\because a = 1013$，$\therefore 1 - a ＜ 0$，则原式 $= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + |1 - a| = a + a - 1 = 2025$，$\therefore$ 小亮的解法是错误的.
(2) $a + 2\sqrt{a^{2} - 6a + 9} = a + 2\sqrt{(a - 3)^{2}} = a + 2|a - 3|$. $\because a = -2025$，$\therefore a - 3 ＜ 0$，$\therefore |a - 3| = 3 - a$，$\therefore$ 原式 $= a + 2(3 - a) = 6 - a = 6 - (-2025) = 2031$.
8. 化简$\sqrt{9x^{2} - 6x + 1} - (\sqrt{3x - 5})^{2}$的结果是(
D
)
A.$6x - 6$
B.$-6x + 6$
C.$-4$
D.$4$
答案：8. D 解析：由已知条件可得 $3x - 5 ≥ 0$，即 $3x ≥ 5$，则 $3x - 1 ＞ 0$，$\therefore$ 原式 $= \sqrt{(3x - 1)^{2}} - (\sqrt{3x - 5})^{2} = 3x - 1 - (3x - 5) = 3x - 1 - 3x + 5 = 4$.
9. 若化简$1 - x - \sqrt{x^{2} - 8x + 16}$的结果为$2x - 5$，则$x$的取值范围是(
B
)
A.$x$为任意实数
B.$1 ≤ x ≤ 4$
C.$x ≥ 1$
D.$x ≤ 4$
答案：9. B 解析：原式可化简为 $|1 - x| - |x - 4|$. 当 $1 - x ≥ 0$，$x - 4 ≥ 0$ 时，此时 $x$ 无解，不符合题意；当 $1 - x ≥ 0$，$x - 4 ≤ 0$ 时，可得 $x ≤ 1$，原式 $= 1 - x - 4 + x = -3$，不符合题意；当 $1 - x ≤ 0$，$x - 4 ≥ 0$ 时，可得 $x ≥ 4$，原式 $= x - 1 - x + 4 = 3$，不符合题意；当 $1 - x ≤ 0$，$x - 4 ≤ 0$ 时，可得 $1 ≤ x ≤ 4$，原式 $= x - 1 - 4 + x = 2x - 5$，符合题意. 综上可得，当 $1 ≤ x ≤ 4$ 时满足题意，故选 B.
