9. 仿照 $ 3x^2 - 9 = 3(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) $，将下列式子在实数范围内分解因式：
(1) $ 4x^4 - 1 = $
$(2x^{2}+1)(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 1)$
；
(2) $ x^4 - 4x^2 + 4 = $
$(x+\sqrt{2})^{2}(x-\sqrt{2})^{2}$
。
答案：1. 对于$4x^{4}-1$：
首先利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x^{2}$，$b = 1$，则$4x^{4}-1=(2x^{2})^{2}-1^{2}$。
根据平方差公式$(2x^{2})^{2}-1^{2}=(2x^{2}+1)(2x^{2}-1)$。
然后对$2x^{2}-1$再次使用平方差公式，此时$a=\sqrt{2}x$，$b = 1$，$2x^{2}-1=(\sqrt{2}x)^{2}-1^{2}$。
由平方差公式$(\sqrt{2}x)^{2}-1^{2}=(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 1)$。
所以$4x^{4}-1=(2x^{2}+1)(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 1)$。
2. 对于$x^{4}-4x^{2}+4$：
先利用完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，这里$a=x^{2}$，$b = 2$，则$x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2})^{2}-2× x^{2}×2 + 2^{2}$。
根据完全平方公式$(x^{2})^{2}-2× x^{2}×2 + 2^{2}=(x^{2}-2)^{2}$。
再对$x^{2}-2$使用平方差公式，此时$a=x$，$b=\sqrt{2}$，$x^{2}-2=x^{2}-(\sqrt{2})^{2}$。
由平方差公式$x^{2}-(\sqrt{2})^{2}=(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$。
所以$(x^{2}-2)^{2}=[(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})]^{2}=(x+\sqrt{2})^{2}(x - \sqrt{2})^{2}$。
故答案依次为：$(2x^{2}+1)(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 1)$；$(x+\sqrt{2})^{2}(x - \sqrt{2})^{2}$。
10. 无论 $ x $ 取任何实数，代数式 $ \sqrt{x^2 - 6x + m} $ 都有意义，则 $ m $ 的取值范围是
$m≥ 9$
。
答案：10. $m≥ 9$ 解析:$\sqrt{x^{2}-6x + m}=\sqrt{x^{2}-6x + 9 + m - 9}=\sqrt{(x - 3)^{2}+m - 9}$.$\because$无论$x$取任何实数，代数式$\sqrt{x^{2}-6x + m}$都有意义，$\therefore (x - 3)^{2}+m - 9≥ 0$.又$\because (x - 3)^{2}≥ 0$，$\therefore m - 9≥ 0$，解得$m≥ 9$.
解析：
要使代数式$\sqrt{x^2 - 6x + m}$无论$x$取任何实数都有意义，则被开方数$x^2 - 6x + m$必须恒大于等于$0$。
对$x^2 - 6x + m$进行配方：
$\begin{aligned}x^2 - 6x + m&=x^2 - 6x + 9 + m - 9\\&=(x - 3)^2 + m - 9\end{aligned}$
因为$(x - 3)^2 ≥ 0$，要使$(x - 3)^2 + m - 9 ≥ 0$恒成立，则$m - 9 ≥ 0$，解得$m ≥ 9$。
$m ≥ 9$
11. 若 $ x $， $ y $ 为实数，且 $ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2} $，求 $ x + y - xy $ 的值。
答案：11. $\because y = \frac{\sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{4 - x^{2}}+1}{x + 2}$，$\therefore x^{2}-4≥ 0$，$4 - x^{2}≥ 0$，$x + 2≠ 0$，解得$x = 2$，$\therefore y = \frac{1}{4}$，$\therefore x + y - xy = 2+\frac{1}{4}-2×\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.
解析：
$\because y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2}$，
$\therefore x^2 - 4 ≥ 0$，$4 - x^2 ≥ 0$，$x + 2 ≠ 0$，
解得$x = 2$，
$\therefore y = \frac{\sqrt{2^2 - 4} + \sqrt{4 - 2^2} + 1}{2 + 2} = \frac{0 + 0 + 1}{4} = \frac{1}{4}$，
$\therefore x + y - xy = 2 + \frac{1}{4} - 2 × \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{7}{4}$.
12. 阅读下面的解题过程，并回答问题。
化简： $ (\sqrt{1 - 3x})^2 - 1 - x $。
解： $ \because 1 - 3x ≥ 0 $， $ \therefore x ≤ \frac{1}{3} $， $ \therefore 1 - x ＞ 0 $，
$ \therefore $ 原式 $ = (1 - 3x) - (1 - x) = 1 - 3x - 1 + x = -2x $。
按照上面的解法，解决下列问题。
(1)化简： $ (\sqrt{2x + 5})^2 - (\sqrt{2 - x})^2 + x - 3 $；
(2)若 $ x $ 满足 $ 2025 - x + \sqrt{x - 2026} = x $，求 $ x - 2025^2 $ 的值。
答案：12. (1)$\because 2x + 5≥ 0$且$2 - x≥ 0$，$\therefore -\frac{5}{2}≤ x≤ 2$，$\therefore$原式$=\vert 2x + 5\vert-\vert 2 - x\vert+\vert x - 3\vert = 2x + 5-(2 - x)+(3 - x)=2x + 6$.
(2)$\because x - 2026≥ 0$，$\therefore x≥ 2026$，$\therefore 2025 - x＜0$，$\therefore$原式$=x - 2025+\sqrt{x - 2026}=x$，$\therefore \sqrt{x - 2026}=2025$.两边同时平方得，$x - 2026 = 2025^{2}$，$\therefore x - 2025^{2}=2026$.
13. (1)已知实数 $ m $， $ n $ 满足 $ 4 - 2m + (n - 2)^2 + \sqrt{(m - 2)n^2} = 2m - 4 $，求 $ m + n $ 的值；
(2)若 $ a $， $ b $， $ m $ 满足如下关系式： $ \sqrt{3a - b - m - 4} + \sqrt{a + b - 2025} = 3\sqrt{2025 - a - b} - 2\sqrt{-a + 3b - m} $，求 $ m - 2027 $ 的平方根。
答案：13. (1)原式可化为$\vert 4 - 2m\vert+4 - 2m+(n - 2)^{2}+\sqrt{(m - 2)n^{2}} = 0$.$\because m - 2≥ 0$，$\therefore m≥ 2$，$\therefore 4 - 2m≤ 0$，$\therefore$原式$=(n - 2)^{2}+\sqrt{(m - 2)n^{2}} = 0$.$\because (n - 2)^{2}≥ 0$，$\sqrt{(m - 2)n^{2}}≥ 0$，$\therefore \{\begin{array}{l}(n - 2)^{2}=0\\\sqrt{(m - 2)n^{2}} = 0\end{array} $即$\{\begin{array}{l}n = 2\\m = 2\end{array} $，$\therefore m + n = 2 + 2 = 4$.
(2)根据题意得，$a + b - 2025≥ 0$，$2025 - a - b≥ 0$，$\therefore a + b = 2025$，$\therefore$原式可化为$\sqrt{3a - b - m - 4}+2\sqrt{-a + 3b - m}=0$，$\therefore \{\begin{array}{l}3a - b - m - 4 = 0\\-a + 3b - m = 0\end{array} $，两式相加得$2a + 2b - 2m - 4 = 0$，$\therefore a + b = m + 2$，$\therefore m + 2 = 2025$，解得$m = 2023$，$\therefore \vert m - 2027\vert = 4$，$\therefore \vert m - 2027\vert$的平方根，即为4的平方根，为$\pm 2$.
