1. 下列式子： $ \sqrt{13} $， $ \sqrt{a} $， $ \sqrt{1 - x} $， $ \sqrt{a^2 + 0.1} $， $ \sqrt[3]{5} $， $ \sqrt{2m + 1} $， $ \sqrt{a^2 + b^2} $， $ \sqrt{-144} $。其中一定是二次根式的有(
B
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：1. B 解析:一定是二次根式的有$\sqrt{13}$，$\sqrt{a^{2}+0.1}$，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，共3个.故选B.
归纳总结 二次根式需满足的条件:
①形式为$\sqrt{a}$；
②被开方数$a$满足$a≥ 0$.
2. (2024·绥化中考)若式子 $ \sqrt{2m - 3} $ 有意义，则 $ m $ 的取值范围是(
C
)
A.$ m ≤ \frac{2}{3} $
B.$ m ≥ -\frac{3}{2} $
C.$ m ≥ \frac{3}{2} $
D.$ m ≤ -\frac{2}{3} $
答案：2. C 解析:由题意可得$2m - 3≥ 0$，解得$m≥ \frac{3}{2}$.故选C.
3. 已知点 $ A(x, y) $ 在函数 $ y = \sqrt{-x^2} $ 的图象上，那么点 $ A $ 应在平面直角坐标系中的(
D
)
A.$ x $ 轴上
B.$ y $ 轴上
C.$ x $ 轴正半轴上
D.原点处
答案：3. D 解析:由题意可得$-x^{2}≥ 0$，又由平方项的非负性可得$-x^{2}≤ 0$，$\therefore x = 0$，$\therefore y = 0$，点$A$在原点处.故选D.
4. 计算：(1) $ ( \sqrt{\frac{2}{9}} )^2 = $
$\frac{2}{9}$
；
(2) $ ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 = $
$\frac{1}{2}$
；
(3) $ (-4\sqrt{2a})^2 (a ≥ 0) = $
$32a$
；
(4) $ (\sqrt{7})^2 - ( \frac{4}{3}\sqrt{3} )^2 = $
$\frac{5}{3}$
。
答案：4. (1)$\frac{2}{9}$ (2)$\frac{1}{2}$ (3)$32a$ (4)$\frac{5}{3}$
5. (1)若 $ \sqrt{a - b - 3} $ 与 $ a - 1 $ 互为相反数，则 $ (a + b)^5 $ 的值为
$-1$
。
答案：5. (1)$-1$ 解析:由非负性可得$a - b - 3 = 0$且$a - 1 = 0$，得$a = 1$，$b = - 2$，$\therefore (a + b)^{5} = (-1)^{5} = - 1$.
(2)(2025·新乡校级月考)已知 $ \sqrt{a + 3} + b - 4 + (c - 1)^2 = 0 $，那么 $ a + b + c $ 的值为
$2$
。
答案：(2)$2$ 解析:由非负性可得$a + 3 = 0$，$b - 4 = 0$，$c - 1 = 0$，得$a = - 3$，$b = 4$，$c = 1$，$\therefore a + b + c = 2$.
6. 教材变式 当 $ x $ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{-x} $；
(2) $ \sqrt{x^2} $；
(3) $ \sqrt{\frac{1}{x - 3}} $；
(4) $ \frac{(x - 2)^0}{\sqrt{x + 1}} $；
(5) $ \sqrt{2x + 3} + \frac{1}{x + 1} $；
(6) $ \frac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{4 - 3x} $。
答案：6. (1)$x≤ 0$ (2)$x$为一切实数 (3)$x＞3$ (4)$x＞-1$且$x≠ 2$ (5)$x≥ -\frac{3}{2}$且$x≠ -1$ (6)$-3＜x≤ \frac{4}{3}$
归纳总结 式子是否有意义需考虑以下方面:
①分式的分母不为0；
②二次根式的被开方数为非负数；
③0指数幂与负整数指数幂的底数不为0.
7. 若 $ (\sqrt{a})^2 = 1 + a - a^2 $，则 $ a $ 的值为(
A
)
A.1
B.-1
C.±1
D.0
答案：7. A 解析:$\because (\sqrt{a})^{2} = a$，$\therefore a = 1 + a - a^{2}$，化简得$a^{2} = 1$，解得$a = 1$或$a = - 1$（根据二次根式有意义的条件，负值舍去），$\therefore a = 1$.故选A.
8. $ m $， $ n $ 均为整数，且满足 $ n = \sqrt{\frac{m}{2} - 1} - \sqrt{3 - m} $，则 $ m + n $ 的值为(
A
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：本题可先根据二次根式有意义的条件确定$m$的值，再代入求出$n$的值，最后计算$m + n$。
步骤一：根据二次根式有意义的条件确定$m$的取值范围
要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，则$a≥0$。
对于$\sqrt{\frac{m}{2}-1}$，有$\frac{m}{2}-1≥0$，解不等式$\frac{m}{2}-1≥0$：
不等式两边同时加$1$可得$\frac{m}{2}≥1$，不等式两边同时乘以$2$，得到$m≥2$。
对于$\sqrt{3 - m}$，有$3 - m≥0$，解不等式$3 - m≥0$：
不等式两边同时减$3$可得$-m≥ - 3$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$m≤3$。
综合可得$2≤ m≤3$，因为$m$为整数，所以$m = 2$或$m = 3$。
步骤二：分别代入$m$的值求出$n$的值
当$m = 2$时：
将$m = 2$代入$n = \sqrt{\frac{m}{2}-1}-\sqrt{3 - m}$可得：
$n=\sqrt{\frac{2}{2}-1}-\sqrt{3 - 2}=\sqrt{1 - 1}-\sqrt{1}=0 - 1=-1$。
当$m = 3$时：
将$m = 3$代入$n = \sqrt{\frac{m}{2}-1}-\sqrt{3 - m}$可得：
$n=\sqrt{\frac{3}{2}-1}-\sqrt{3 - 3}=\sqrt{\frac{1}{2}}-0=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$n$为整数，所以$m = 3$不符合题意，舍去。
步骤三：计算$m + n$的值
由上述计算可知$m = 2$，$n = - 1$，则$m + n=2 + (-1)=1$。
综上，答案是A选项。
