解：设$\angle BOE = x$，则$\angle AOD = 4x$。
因为$OE$平分$\angle BOD$，所以$\angle BOD = 2\angle BOE = 2x$。
由于直线$AB$与$CD$相交于点$O$，$\angle AOD + \angle BOD = 180°$，即$4x + 2x = 180°$，解得$x = 30°$。
所以$\angle BOD = 2x = 60°$，则$\angle COB = 180° - \angle BOD = 120°$。
因为$OF$平分$\angle COB$，所以$\angle COF = \frac{1}{2}\angle COB = 60°$。
又因为$\angle AOC = \angle BOD = 60°$（对顶角相等），所以$\angle AOF = \angle AOC + \angle COF = 60° + 60° = 120°$。
答案：B

证明：
① $\because \angle B + \angle BFE = 180°$（同旁内角互补，两直线平行），$\therefore AB // EF$；
② $\because \angle 1 = \angle 2$（内错角相等，两直线平行），$\therefore DE // BC$，无法判定$AB // EF$；
③ $\because \angle 3 = \angle 4$（内错角相等，两直线平行），$\therefore AB // EF$；
④ $\because \angle B = \angle 5$（同位角相等，两直线平行），$\therefore AB // EF$；
综上，能判定$AB // EF$的有①③④，共3个。
C

证明：延长BE交CD于点F。
∵∠BED是△DEF的外角，
∴∠BED=∠D+∠EFD。
∵∠D=40°，∠BED=60°，
∴60°=40°+∠EFD，
解得∠EFD=20°。
∵AB//CD，
∴∠B=∠EFD=20°。
答案：B

证明：
∵AB//CD，
∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等），∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）。
∵EG平分∠AEF，FM平分∠EFD，
∴∠AEG=∠GEF=1/2∠AEF，∠DFM=∠EFM=1/2∠EFD，
∴∠GEF=∠EFM（等量代换），∠AEG=∠DFM（等量代换）。
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEM=∠MEF=1/2∠BEF，
∵∠AEF+∠BEF=180°（平角定义），
∴∠GEF+∠MEF=1/2(∠AEF+∠BEF)=90°，即∠GEM=90°。
∵∠EFC=∠BEF（已证），
∴∠EFM=1/2∠EFC，即FM平分∠EFC，
∴∠CFM=∠EFM=∠DFM。
∵AB//CD，
∴∠BEM=∠EMF（两直线平行，内错角相等），
∴∠MEF=∠EMF，
∴∠DFM=∠MEF=∠BEM=∠EMF。
综上，与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠CFM、∠GEF、∠AEG、∠MEF、∠BEM、∠EMF，共7个。
答案：C

证明：
①由平移性质得$AB// DE$，$AB=DE$，
$\therefore$四边形$ABED$是平行四边形，$\therefore AD// BE$，
$\therefore \angle A=\angle BED$，①正确；
②$\because S_{\triangle BEG}=4$，$BG=4$，
$\therefore \frac{1}{2}× BG× BE=4\Rightarrow \frac{1}{2}× 4× BE=4\Rightarrow BE=2$，
平移距离为$BE=2$，②错误；
③由平移性质得$BE=CF$，③正确；
④$\because BC=EF=10$，$BG=4$，$\therefore GC=BC-BG=6$，
$S_{\triangle BEG}=4$，$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2}× EF× BE=\frac{1}{2}× 10× 2=10$，
$S_{\mathrm{四边形}GCFE}=S_{\triangle EFC}+S_{\triangle BEG}=10+6=16$（注：此处原解析简化，实际通过梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(GC+EF)× BE=\frac{1}{2}(6+10)× 2=16$更严谨），④正确。
综上，正确的有①③④。
答案：B

解：
∵AN平分∠DAP，∠DAN=32°，
∴∠DAP=2∠DAN=64°，∠PAN=∠DAN=32°。
∵AD//BC，
∴∠APB=∠DAP=64°（两直线平行，内错角相等）。
设∠BAM=∠PAM=x（AM平分∠BAP），则∠BAP=2x，∠BAN=∠BAP+∠PAN=2x+32°。
在△ABM中，∠BMA=180°-∠B-∠BAM=180°-∠B-x。
∵∠BAN=∠BMA，
∴2x+32°=180°-∠B-x，整理得∠B=148°-3x。
在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB=180°，即∠B+2x+64°=180°，
∴∠B=116°-2x。
联立得148°-3x=116°-2x，解得x=32°，
∴∠B=116°-2×32°=52°。
答案：C

解：设$\angle 1 = x$，则$\angle CDE = 3x$；设$\angle 2 = y$，则$\angle ABE = 3y$。
过点$E$作$EG // AB$，因为$AB // CD$，所以$EG // CD$。
$\angle DEG = \angle CDE = 3x$，$\angle BEG = \angle ABE = 3y$，故$\angle DEB = \angle DEG + \angle BEG = 3x + 3y = 3(x + y)$。
过点$F$作$FH // AB$，同理$FH // CD$。
$\angle DFH = \angle 1 = x$，$\angle BFH = \angle 2 = y$，故$\angle DFB = \angle DFH + \angle BFH = x + y$。
因此，$\angle DEB : \angle DFB = 3(x + y) : (x + y) = 3 : 1$。
答案：B