新知梳理
1. (1)当 $a \geqslant 0,b＞0$ 时，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{(\quad\quad)}{b^{2}}}=$
(化去被开方数中的分母)；
(2)当 $a \geqslant 0,b＞0$ 时，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·(\quad\quad)}=$
(化去分母中的根号)，上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化.
2. 一般地，化简二次根式就是使二次根式：(1)
中不含分母；(2)
中不含有根号；(3)被开方数写成乘积形式时，不含
的因数，且因式的次数等于 1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式.
答案：$1.(1) ab \frac{\sqrt{ab}}{b} (2) \sqrt{b} \frac{\sqrt{ab}}{b} 2.(1)$被开方数 (2)分母 (3)能开得尽方
1. 下列式子为最简二次根式的为(
A
)
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案：1.A
2. 化简二次根式$-\sqrt{8a^{3}}$的结果为(
D
)
A.$2a\sqrt{2a}$
B.$-2\sqrt{2a^{3}}$
C.$2a\sqrt{-2a}$
D.$-2a\sqrt{2a}$
答案：2.D
解析：
要化简二次根式$-\sqrt{8a^{3}}$，需先保证被开方数非负，即$8a^{3}\geq0$，可得$a\geq0$。
$\begin{aligned}-\sqrt{8a^{3}}&=-\sqrt{4a^{2}·2a}\\&=-\sqrt{4a^{2}}·\sqrt{2a}\\&=-2a\sqrt{2a}\end{aligned}$
结果为$-2a\sqrt{2a}$，答案选D。
3. 有下列式子：①$\sqrt{0.2}$；②$\sqrt{\dfrac{1}{3}a}$；③$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$；④$\sqrt{8m}$. 其中，是最简二次根式的为
③
(填序号).
答案：3.③
4. 化简下列各式，使分母有理化.
(1)$\dfrac{1}{\sqrt{7}}=$
；
(2)$\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=$
.
答案：$4.(1)\frac{\sqrt{7}}{7} (2)\frac{\sqrt{3}}{2}$
5. （教材变式）化简下列各式，使被开方数中不含分母.
（1）$\sqrt{\dfrac{5}{16}}$；
（2）$\sqrt{3\dfrac{1}{3}}$；
（3）$-\sqrt{\dfrac{7}{6}}$；
（4）$\sqrt{\dfrac{20x^{2}y^{2}}{z^{5}}}(x \geqslant 0,y \geqslant 0,z＞0)$.
答案：$5.(1)\frac{\sqrt{5}}{4} (2)\frac{\sqrt{30}}{3} (3)-\frac{\sqrt{42}}{6} (4)\frac{2xy\sqrt{5z}}{z^{3}}$
解析：
解：$\sqrt{\dfrac{20x^{2}y^{2}}{z^{5}}}$
$=\sqrt{\dfrac{4x^{2}y^{2}·5}{z^{4}· z}}$
$=\dfrac{2xy\sqrt{5}}{\vert z^{2}\vert\sqrt{z}}$
$=\dfrac{2xy\sqrt{5}}{\ z^{2}\sqrt{z}}$
$=\dfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^{3}}$
