新知梳理
1. 二次根式乘法的性质：
(1)$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$_________$0$，$b$_________$0$)；
(2)
$=\sqrt{a} · \sqrt{b}$($a$_________$0$，$b$_________$0$)。
2. 化简二次根式的结果中，被开方数一般不含
的因数或因式。
答案：1.(1) $\sqrt{ab} \geqslant \geqslant$ (2) $\sqrt{ab} \geqslant \geqslant$ 2. 能开得尽方
1. (2025·兰州)计算$\sqrt{3} × \sqrt{2}$的结果为(
B
)
A.$6$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.$1$
答案：1. B
解析：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$，结果为$\sqrt{6}$，答案选B。
2. 下列计算错误的是(
A
)
A.$\sqrt{2} · \sqrt{3a} = \sqrt{2 + 3a}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{2} = 1$
C.$\sqrt{12a} · \sqrt{3a} = 6a$
D.$\sqrt{2\dfrac{1}{2}} × \sqrt{\dfrac{4}{5}} = \sqrt{2}$
答案：2. A
解析：
A选项：$\sqrt{2}·\sqrt{3a}=\sqrt{2×3a}=\sqrt{6a}≠\sqrt{2 + 3a}$，计算错误；
B选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×2}=\sqrt{1}=1$，计算正确；
C选项：$\sqrt{12a}·\sqrt{3a}=\sqrt{12a×3a}=\sqrt{36a^2}=6|a|$，当$a\geq0$时，$6|a|=6a$，计算正确；
D选项：$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}×\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}×\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}×\dfrac{4}{5}}=\sqrt{2}$，计算正确。
答案：A
3. 化简：
(1)$\sqrt{112} =$
$4\sqrt{7}$
；
(2)$-\sqrt{4^{2} × 5} =$
$-4\sqrt{5}$
；
(3)(2024·包头)$\sqrt{9^{2} - 6^{2}} =$
$3\sqrt{5}$
；
(4)$\sqrt{18a^{5}b^{4}}$($a \geqslant 0$)$=$
$3a^{2}b^{2}\sqrt{2a}$
。
答案：3. (1) $4\sqrt{7}$ (2) $-4\sqrt{5}$ (3) $3\sqrt{5}$ (4) $3a^{2}b^{2}\sqrt{2a}$
解析：
(1) $\sqrt{112}=\sqrt{16×7}=\sqrt{16}×\sqrt{7}=4\sqrt{7}$；
(2) $-\sqrt{4^{2}×5}=-\sqrt{4^{2}}×\sqrt{5}=-4\sqrt{5}$；
(3) $\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{(9 - 6)(9 + 6)}=\sqrt{3×15}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$；
(4) $\sqrt{18a^{5}b^{4}}=\sqrt{9a^{4}b^{4}×2a}=\sqrt{9a^{4}b^{4}}×\sqrt{2a}=3a^{2}b^{2}\sqrt{2a}$
4. 若三角形的一边长是$\sqrt{3}$ $cm$，这条边上的高是$\sqrt{15}$ $cm$，则这个三角形的面积是
$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
$cm^{2}$。
答案：4. $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
解析：
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，已知底边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，这条边上的高为$\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，则面积$S = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{15}$。
$\begin{aligned}\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{15}&=\frac{1}{2} × \sqrt{3 × 15}\\&=\frac{1}{2} × \sqrt{45}\\&=\frac{1}{2} × 3\sqrt{5}\\&=\frac{3\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
5. （教材变式）计算：
（1）（2025·淮安）$\sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
（2）$-2\sqrt{15} × 4\sqrt{6}$；
（3）$-8\sqrt{35} × (-\dfrac{1}{4}\sqrt{1\dfrac{3}{7}})$；
（4）$\sqrt{2x^{3}} · \sqrt{6x^{2}} · \sqrt{\dfrac{x}{3}}$（$x \geqslant 0$）。
答案：5.(1) $2$ (2) $-24\sqrt{10}$ (3) $10\sqrt{2}$ (4) $2x^{3}$
解析：
（1）$\sqrt{12} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{12 × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{4} = 2$；
（2）$-2\sqrt{15} × 4\sqrt{6} = (-2 × 4) × \sqrt{15 × 6} = -8\sqrt{90} = -8 × 3\sqrt{10} = -24\sqrt{10}$；
（3）$-8\sqrt{35} × (-\dfrac{1}{4}\sqrt{1\dfrac{3}{7}}) = (-8) × (-\dfrac{1}{4}) × \sqrt{35 × \dfrac{10}{7}} = 2\sqrt{50} = 2 × 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$；
（4）$\sqrt{2x^{3}} · \sqrt{6x^{2}} · \sqrt{\dfrac{x}{3}} = \sqrt{2x^{3} · 6x^{2} · \dfrac{x}{3}} = \sqrt{4x^{6}} = 2x^{3}$
