新知梳理
1. 一般地，形如式子$\sqrt{a}$($a$
$\geqslant0$
)的式子叫作二次根式.
2. $\sqrt{a}$($a$
$\geqslant0$
)是$a$的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当$a$
$\geqslant0$
时，$(\sqrt{a})^{2}=$
$a$
.
答案：1. $\geqslant0$ 2. $\geqslant0$ $\geqslant0$ $a$
1. 给出下列式子：①$\sqrt{5 + a^{2}}$；②$\sqrt{4}$；③$\sqrt[3]{7}$；④$\sqrt{-1 - x^{2}}$.其中，一定是二次根式的为(
C
)
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.①④
答案：1. C
解析：
①$\sqrt{5 + a^{2}}$，因为$a^2\geq0$，所以$5+a^2\geq5＞0$，是二次根式；
②$\sqrt{4}$，$4＞0$，是二次根式；
③$\sqrt[3]{7}$，根指数是3，不是二次根式；
④$\sqrt{-1 - x^{2}}$，因为$x^2\geq0$，所以$-1-x^2\leq-1＜0$，无意义，不是二次根式。
一定是二次根式的为①②。
C
2. (2025·镇江)使二次根式$\sqrt{2x - 4}$有意义的$x$的取值范围是(
A
)
A.$x\geqslant 2$
B.$x\leqslant 2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
答案：2. A
解析：
要使二次根式$\sqrt{2x - 4}$有意义，则被开方数必须是非负数，即：
$2x - 4 \geq 0$
解不等式可得：
$2x \geq 4$
$x \geq 2$
A
3. 已知实数$x$，$y$满足$\sqrt{x + 6} + |4 - 3y| = 0$，则$x - 6y$的值为
$-14$
.
答案：3. $-14$
解析：
解：因为$\sqrt{x + 6} \geq 0$，$|4 - 3y| \geq 0$，且$\sqrt{x + 6} + |4 - 3y| = 0$，所以$\sqrt{x + 6} = 0$，$|4 - 3y| = 0$。
由$\sqrt{x + 6} = 0$，得$x + 6 = 0$，解得$x = -6$。
由$|4 - 3y| = 0$，得$4 - 3y = 0$，解得$y = \frac{4}{3}$。
则$x - 6y = -6 - 6×\frac{4}{3} = -6 - 8 = -14$。
$-14$
4. 计算：
(1)$(-\sqrt{5})^{2}=$_______；$(2\sqrt{7})^{2}=$_______；$(\dfrac{1}{5}\sqrt{3})^{2}=$_______.
(2)$(\sqrt{2a})^{2}(a\geqslant 0)=$_______；$(\sqrt{9 - 2x})^{2}(x\leqslant \dfrac{9}{2})=$_______；$(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^{2}=$_______.
答案：4. (1) $5$ $\frac{28\frac{3}{25}}{}$（或者写$5$ $\frac{703}{25}$ 不统一无法判断） (2) $2a$ $9 - 2x$ $\frac{9}{2}$
5. （教材变式）求使下列各式有意义的$x$的取值范围.
（1）$\sqrt{3x + 6}$；
（2）$\sqrt{12 - x}$；
（3）$\sqrt{2x^{2} + 4}$；
（4）（2025·绥化）$\dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}$.
答案：5. (1) $x\geqslant-2$ (2) $x\leqslant12$ (3) $x$为一切实数 (4) $x＞-1$
解析：
（1）要使$\sqrt{3x + 6}$有意义，则$3x+6\geqslant0$，解得$x\geqslant-2$；
（2）要使$\sqrt{12 - x}$有意义，则$12-x\geqslant0$，解得$x\leqslant12$；
（3）要使$\sqrt{2x^{2} + 4}$有意义，因为$2x^2\geqslant0$，所以$2x^2 + 4\geqslant4＞0$，则$x$为一切实数；
（4）要使$\dfrac{1}{\sqrt{x + 1}}$有意义，则$\sqrt{x+1}\neq0$且$x+1\geqslant0$，即$x+1＞0$，解得$x＞-1$。
