新知梳理
1. 由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行
检验
.
2. 解分式方程产生增根的原因是去分母时，方程两边同乘了一个值为
0
的最简公分母.
答案：1.检验 2.0
1. 对于分式方程，下列说法中，一定正确的是(
B
)
A.只要是分式方程，一定有增根
B.若分式方程有增根，则增根代入最简公分母中，其值一定为0
C.使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根
D.分式方程转化成整式方程，整式方程的解都是分式方程的解
答案：1.B
2. 若关于x的分式方程$\frac{7x}{x - 1}+5=\frac{2m - 1}{x - 1}$有增根，则m的值为(
C
)
A.1
B.3
C.4
D.5
答案：2.C
解析：
方程两边同乘$x - 1$得：$7x + 5(x - 1) = 2m - 1$。
因为分式方程有增根，所以$x - 1 = 0$，即$x = 1$。
将$x = 1$代入整式方程：$7×1 + 5×(1 - 1) = 2m - 1$，
$7 + 0 = 2m - 1$，
$2m = 8$，
$m = 4$。
C
3. 若关于x的分式方程$\frac{x}{3x - 1}-\frac{m}{1 - 3x}=2$有增根，则这个增根是
$x = \frac{1}{3}$
.
答案：3.$x = \frac{1}{3}$
4. (分类讨论思想)若关于x的方程$\frac{mx - 1}{x - 1}=3$无解，则m的值为
1或3
.
答案：4.1或3
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$mx - 1 = 3(x - 1)$，整理得$(m - 3)x = -2$。
情况一：当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，方程$0x = -2$无解，原方程无解。
情况二：当$m - 3 \neq 0$时，$x = \frac{-2}{m - 3}$。若原方程无解，则$x - 1 = 0$，即$x = 1$。所以$\frac{-2}{m - 3} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$或$3$。
5. （教材变式）解下列方程：
（1）$\frac{3 - x}{x - 4}=\frac{1}{4 - x}$；
（2）（2025·威海）$\frac{x - 2}{2x - 1}-1=\frac{1}{1 - 2x}$；
（3）$\frac{x + 3}{x}=\frac{6}{x - 3}+1$；
（4）$\frac{y + 3}{y - 1}-\frac{16}{(y - 1)(y + 3)}=\frac{y + 1}{y + 3}$.
答案：5.(1)无解 (2)$x = 0$ (3)$x = - 3$ (4)无解
解析：
（1）方程两边同乘$x - 4$，得$3 - x = -1$，解得$x = 4$。检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$，所以$x = 4$是增根，原方程无解。
（2）方程两边同乘$2x - 1$，得$x - 2 - (2x - 1) = -1$，解得$x = 0$。检验：当$x = 0$时，$2x - 1 = -1 \neq 0$，所以$x = 0$是原方程的解。
（3）方程两边同乘$x(x - 3)$，得$(x + 3)(x - 3) = 6x + x(x - 3)$，解得$x = -3$。检验：当$x = -3$时，$x(x - 3) = (-3)×(-6) = 18 \neq 0$，所以$x = -3$是原方程的解。
（4）方程两边同乘$(y - 1)(y + 3)$，得$(y + 3)^2 - 16 = (y + 1)(y - 1)$，解得$y = 1$。检验：当$y = 1$时，$(y - 1)(y + 3) = 0$，所以$y = 1$是增根，原方程无解。
