新知梳理
1. 分式的乘除混合运算，要按
从左到右
的顺序进行。
2. 分式的加、减、乘、除混合运算的顺序：先
乘除
，后
加减
，如果有括号，先进行
括号内
的运算。
答案：1.从左到右 2.乘除 加减 括号内
1. 计算 $ x ÷ y + \frac{y}{x} $ 的结果是(
A
)
A.$ \frac{
x^{
2} +
y^{2}}{xy} $
B.$ \frac{(
x +
y)^{
2}}{xy} $
C.$ \frac{x^{2}}{xy + y} $
D.1
答案：1.A
解析：
$x÷ y+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$，结果为A。
2. 当 $ x = 6 $，$ y = 3 $ 时，代数式 $ ( \frac{x}{x + y} + \frac{2y}{x + y} ) · \frac{3xy}{x + 2y} $ 的值为(
C
)
A.2
B.3
C.6
D.9
答案：2.C
解析：
$\begin{aligned}&( \frac{x}{x + y} + \frac{2y}{x + y} ) · \frac{3xy}{x + 2y}\\=&\frac{x + 2y}{x + y} · \frac{3xy}{x + 2y}\\=&\frac{3xy}{x + y}\\\end{aligned}$
当$x = 6$，$y = 3$时，
$\frac{3×6×3}{6 + 3}=\frac{54}{9}=6$
C
3. 计算：(1)(2025·扬州)$ ( 1 - \frac{2}{x} ) ÷ \frac{1}{x} = $
$x - 2$
；(2)$ ( a - \frac{4a - 4}{a} ) · \frac{a^{2}}{a - 2} = $
$a^{2} - 2a$
。
答案：3.(1)$x - 2$ (2)$a^{2} - 2a$
解析：
(1) $(1 - \frac{2}{x}) ÷ \frac{1}{x}$
$=(\frac{x}{x} - \frac{2}{x}) × x$
$=\frac{x - 2}{x} × x$
$=x - 2$
(2) $(a - \frac{4a - 4}{a}) · \frac{a^{2}}{a - 2}$
$=(\frac{a^{2}}{a} - \frac{4a - 4}{a}) · \frac{a^{2}}{a - 2}$
$=\frac{a^{2} - 4a + 4}{a} · \frac{a^{2}}{a - 2}$
$=\frac{(a - 2)^{2}}{a} · \frac{a^{2}}{a - 2}$
$=a(a - 2)$
$=a^{2} - 2a$
4. (教材变式)已知 $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = - 30 $，则 $ \frac{mn}{4m - 10mn + 4n} $ 的值为
$-\frac{1}{130}$
。
答案：4.$-\frac{1}{130}$
解析：
解：由$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = - 30$，通分得$\frac{n + m}{mn}=-30$，即$m + n=-30mn$。
将$m + n=-30mn$代入$\frac{mn}{4m - 10mn + 4n}$，得：
$\begin{aligned}\frac{mn}{4(m + n)-10mn}&=\frac{mn}{4(-30mn)-10mn}\\&=\frac{mn}{-120mn - 10mn}\\&=\frac{mn}{-130mn}\\&=-\frac{1}{130}\end{aligned}$
$-\frac{1}{130}$
5. （教材变式）计算：
（1）（2025·绥化）$ 1 - \frac{x - y}{x + 2y} ÷ \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4xy + 4y^{2}} $；
（2）（2025·甘肃）$ \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 2} ÷ \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - 4} $；
（3）$ \frac{a^{2} - 4}{a} ÷ ( a + 1 - \frac{5a - 4}{a} ) $。
答案：5.(1)$-\frac{y}{x + y}$ (2)1 (3)$\frac{a + 2}{a - 2}$
解析：
（1）$1 - \frac{x - y}{x + 2y} ÷ \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4xy + 4y^{2}}$
$=1 - \frac{x - y}{x + 2y} · \frac{(x + 2y)^2}{(x + y)(x - y)}$
$=1 - \frac{x + 2y}{x + y}$
$=\frac{x + y - (x + 2y)}{x + y}$
$=\frac{x + y - x - 2y}{x + y}$
$=-\frac{y}{x + y}$
（2）$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 2} ÷ \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - 4}$
$=\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}$
$=\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 2}{x - 1}$
$=\frac{1 + x - 2}{x - 1}$
$=\frac{x - 1}{x - 1}$
$=1$
（3）$\frac{a^{2} - 4}{a} ÷ ( a + 1 - \frac{5a - 4}{a} )$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} ÷ ( \frac{a(a + 1)}{a} - \frac{5a - 4}{a} )$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} ÷ \frac{a^2 + a - 5a + 4}{a}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} · \frac{a}{a^2 - 4a + 4}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^2}$
$=\frac{a + 2}{a - 2}$
