新知梳理
1. 根据分式的
基本性质
，把几个异分母的分式变形成
同分母
的分式，叫作分式的通分，变形后的分母叫作这几个分式的公分母。
2. 如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数(都是整数时)的
最小公倍数
与所有字母的
最高次幂
的积叫作这几个分式的最简公分母。
3. 异分母分式通分时，关键是确定
最简公分母
。当分母是多项式时，一般应先考虑
分解因式
。
答案：1.基本性质 同分母 2.最小公倍数 最高次幂 3.最简公分母 分解因式
1. 分式$\frac{1}{6x^{2}}$与$-\frac{1}{3xy}$的最简公分母是(
B
)
A.$6x^{3}y$
B.$6x^{2}y$
C.$18x^{2}y$
D.$18x^{3}y$
答案：1.B
解析：
确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，以及单独出现的字母连同它的指数。
对于分式$\frac{1}{6x^{2}}$与$-\frac{1}{3xy}$：
系数$6$和$3$的最小公倍数是$6$；
字母$x$的最高次幂是$x^{2}$；
单独出现的字母$y$的指数是$1$。
所以最简公分母是$6x^{2}y$。
B
2. 分式$\frac{1}{2x^{2}}$，$\frac{5x - 1}{4(m - n)}$，$\frac{3}{x}$的最简公分母是(
D
)
A.$4x(m - n)$
B.$2x^{2}(m - n)$
C.$\frac{1}{4x^{2}(m - n)}$
D.$4x^{2}(m - n)$
答案：2.D
解析：
确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，以及所有不同字母或因式的积。
对于分式$\frac{1}{2x^{2}}$，分母为$2x^{2}$；$\frac{5x - 1}{4(m - n)}$，分母为$4(m - n)$；$\frac{3}{x}$，分母为$x$。
系数$2$、$4$的最小公倍数是$4$；$x$的最高次幂是$x^{2}$；不同的因式为$(m - n)$。
所以最简公分母是$4x^{2}(m - n)$。
D
3. 将$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$通分后，分别是
$\frac{ab}{3ab}$
，
$\frac{3b}{3ab}$
，
$\frac{3a}{3ab}$
。
答案：3.$\frac{ab}{3ab}$ $\frac{3b}{3ab}$ $\frac{3a}{3ab}$
4. 分式$\frac{4a}{5b^{2}c}$，$\frac{3c}{2a^{2}b}$，$\frac{7b}{10ac}$的最简公分母是
$10a^{2}b^{2}c$
，通分时，这三个分式的分子、分母依次同乘
$2a^{2}$
，
$5bc$
，
$ab^{2}$
。
答案：4.$10a^{2}b^{2}c$ $2a^{2}$ $5bc$ $ab^{2}$
5. （教材变式）通分：
（1）$\frac{y}{2x}$，$\frac{x}{3y^{2}}$，$\frac{1}{4xy}$；
（2）$\frac{1}{x^{2} - 4}$，$\frac{x}{4 - 2x}$；
（3）$\frac{x}{(x - 1)^{2}}$，$\frac{1}{x^{2} - 1}$；
（4）$\frac{x + 1}{3x}$，$\frac{x}{2x + 6}$，$\frac{1 - x}{9 - x^{2}}$。
答案：5.(1)$\frac{y}{2x}=\frac{y·6y^{2}}{2x·6y^{2}}=\frac{6y^{3}}{12xy^{2}}$，$\frac{x}{3y^{2}}=\frac{x·4x}{3y^{2}·4x}=\frac{4x^{2}}{12xy^{2}}$，$\frac{1}{4xy}=\frac{1·3y}{4xy·3y}=\frac{3y}{12xy^{2}}$ (2)$\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{2}{2(x + 2)(x - 2)}$，$\frac{x}{4 - 2x}=\frac{x}{2(2 - x)}=\frac{x(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)}$
(3)$\frac{x}{(x - 1)^{2}}=\frac{x(x + 1)}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$，$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$ (4)$\frac{x + 1}{3x}=\frac{2(x + 1)(x + 3)(x - 3)}{6x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x}{2x + 6}=\frac{3x^{2}(x - 3)}{6x(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{1 - x}{9 - x^{2}}=\frac{1 - x}{(3 + x)(3 - x)}=\frac{6x(x - 1)}{6x(x + 3)(x - 3)}$
