新知梳理
1. 通常，把一个多项式分解因式，应先
提公因式
，再运用
公式
.进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到
不能再分解
为止.
2. 分解因式时，有时也需要运用整体的数学思想.如分解因式$(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$时，先把
$a^{2}+b^{2}$
看成是一个整体，运用
平方差
公式分解因式为
$(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}-2ab+b^{2})$
，再运用
完全平方
公式，得到
$(a+b)^{2}(a-b)^{2}$
.
答案：1.提公因式 公式 不能再分解 2.$a^{2}+b^{2}$ 平方差
$(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}-2ab+b^{2})$ 完全平方 $(a+b)^{2}(a-b)^{2}$
1. 多项式$mx^{2}-m$与多项式$x^{2}-2x + 1$的公因式为(
A
)
A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$x^{2}-1$
D.$(x - 1)^{2}$
答案：1.A
解析：
$mx^{2}-m=m(x^{2}-1)=m(x-1)(x+1)$，$x^{2}-2x + 1=(x-1)^{2}$，公因式为$x - 1$。A
2. 有下列代数式：①$10am - 15a$；②$4xm^{2}-9x$；③$4am^{2}-12am + 9a$；④$-4m^{2}-9$.其中，含有因式$2m - 3$的有(
C
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：2.C
解析：
①$10am - 15a = 5a(2m - 3)$，含有因式$2m - 3$；
②$4xm^{2}-9x = x(4m^{2}-9) = x(2m - 3)(2m + 3)$，含有因式$2m - 3$；
③$4am^{2}-12am + 9a = a(4m^{2}-12m + 9) = a(2m - 3)^{2}$，含有因式$2m - 3$；
④$-4m^{2}-9 = -(4m^{2}+9)$，不含因式$2m - 3$。
含有因式$2m - 3$的有①②③，共3个。
C
3. 分解因式：
(1)(2025·无锡)$a^{3}-4a=$
$a(a+2)(a-2)$
；
(2)$-\frac{1}{3}x^{2}+2x - 3=$
$-\frac{1}{3}(x-3)^{2}$
.
答案：3.(1)$a(a+2)(a-2)$ (2)$-\frac{1}{3}(x-3)^{2}$
4. 已知$a + b = 1$，则代数式$a^{2}-b^{2}+2b + 9$的值为
10
.
答案：4.10
解析：
解：因为$a + b = 1$，所以$a = 1 - b$。
将$a = 1 - b$代入$a^{2}-b^{2}+2b + 9$得：
$\begin{aligned}&(1 - b)^{2}-b^{2}+2b + 9\\=&1 - 2b + b^{2}-b^{2}+2b + 9\\=&(1 + 9) + (-2b + 2b) + (b^{2}-b^{2})\\=&10 + 0 + 0\\=&10\end{aligned}$
10
5. (教材变式)运用分解因式$x^{2}-6x + 9$的结果，对$x^{2}-6x - 16$进行分解因式可得
$(x+2)(x-8)$
.
答案：5.$(x+2)(x-8)$
6. （教材变式）把下列各式分解因式：
（1）$ax^{4}-81ay^{2}$；
（2）$-2x^{2}y + 16xy - 32y$；
（3）（2025·西宁）$8ab^{2}-2a$；
（4）$16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4}$.
答案：6.(1)$a(x^{2}+9y)(x^{2}-9y)$ (2)$-2y(x-4)^{2}$ (3)$2a(2b-1)(2b+1)$ (4)$(2x+y)^{2}(2x-y)^{2}$
解析：
（1）$ax^{4}-81ay^{2}=a(x^{4}-81y^{2})=a(x^{2}+9y)(x^{2}-9y)$；
（2）$-2x^{2}y + 16xy - 32y=-2y(x^{2}-8x + 16)=-2y(x - 4)^{2}$；
（3）$8ab^{2}-2a=2a(4b^{2}-1)=2a(2b - 1)(2b + 1)$；
（4）$16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4}=(4x^{2}-y^{2})^{2}=(2x + y)^{2}(2x - y)^{2}$
