新知梳理
将乘法公式$(a + b)^2 =$
$a^{2}+2ab+b^{2}$
，$(a - b)^2 =$
$a^{2}-2ab+b^{2}$
反过来得$a^2 + 2ab + b^2 =$
$(a+b)^{2}$
，$a^2 - 2ab + b^2 =$
$(a-b)^{2}$
。可以运用这两个完全平方公式将某些多项式分解因式。其结构特征是等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的$2$倍的和或差，右边是这两个数
和或差
的平方。
答案：$\boxed{a^{2}+2ab+b^{2}\quad a^{2}-2ab+b^{2}\quad(a+b)^{2}\quad(a-b)^{2}\quad}\mathrm{和或差}$
解析：
$a^{2}+2ab+b^{2}$；$a^{2}-2ab+b^{2}$；$(a+b)^{2}$；$(a-b)^{2}$；和或差
1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(
D
)
A.$x^2 + x + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$81 + 18x + x^2$
答案：1.D
2. 把多项式$x^2 - 8x + 16$分解因式，结果正确的是(
B
)
A.$x(x - 8) + 16$
B.$(x - 4)^2$
C.$(x + 4)(x - 4)$
D.$(x + 4)^2$
答案：2.B
3. (2024·西藏)分解因式：$4 - 4x + x^2 =$
$(2-x)^{2}$
。
答案：3.$(2-x)^{2}$
4. 已知正方形的面积为$9y^2 + 24y + 16(y ＞ 0)$，利用因式分解，该正方形的边长为
$3y+4$
(用含$y$的代数式表示)。
答案：4.$3y+4$
解析：
$9y^2 + 24y + 16=(3y)^2+2×3y×4+4^2=(3y+4)^2$，因为正方形的面积等于边长的平方，且$y＞0$，所以该正方形的边长为$3y+4$。
5. （教材变式）把下列各式分解因式：
（1）$25x^2 + 9 + 30x$；
（2）$(m + n)^2 - 6(m + n) + 9$；
（3）$-x^2 - 4y^2 + 4xy$；
（4）$a^4b^4 + 4a^2b^2c + 4c^2$。
答案：5.(1)$(5x+3)^{2}$ (2)$(m+n-3)^{2}$ (3)$-(x-2y)^{2}$ (4)$(a^{2}b^{2}+2c)^{2}$
解析：
（1）$25x^2 + 30x + 9=(5x)^2 + 2×5x×3 + 3^2=(5x + 3)^2$；
（2）$(m + n)^2 - 6(m + n) + 9=(m + n)^2 - 2×(m + n)×3 + 3^2=(m + n - 3)^2$；
（3）$-x^2 - 4y^2 + 4xy=-(x^2 - 4xy + 4y^2)=-(x^2 - 2× x×2y + (2y)^2)=-(x - 2y)^2$；
（4）$a^4b^4 + 4a^2b^2c + 4c^2=(a^2b^2)^2 + 2× a^2b^2×2c + (2c)^2=(a^2b^2 + 2c)^2$。
