新知梳理
1. 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作
公式法
.
2. 把乘法公式$(a + b)(a - b) =$
$a^{2}-b^{2}$
反过来就得到
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
.
3. 运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是等式的左边是两个数的平方差，右边是
这两个数的和
与
这两个数的差
的积.
答案：1.公式法 2. $a^{2}-b^{2}$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ 3. 这两个数的和 这两个数的差
1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的为(
C
)
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a - b^{2}$
C.$b^{2}-a^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$
答案：1. C
2. (2025·广西改编)分解因式$4a^{2}-1$的结果为(
A
)
A.$(2a - 1)(2a + 1)$
B.$(a - 2)(a + 2)$
C.$(a - 4)(a + 1)$
D.$(4a - 1)(a + 1)$
答案：2. A
3. 分解因式：
(1)$100 - a^{2}=$
$(10+a)(10-a)$
；
(2)(2024·临夏)$x^{2}-\frac{1}{4}=$
$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$
.
答案：3. (1) $(10+a)(10-a)$ (2) $(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$
4. 已知$a = 4 - 7b$，$a - 7b = 2$，则$a^{2}-49b^{2}$的值为
8
.
答案：4. 8
解析：
由已知可得：
$\begin{cases}a = 4 - 7b \\a - 7b = 2\end{cases}$
将$a = 4 - 7b$代入$a - 7b = 2$，得：
$4 - 7b - 7b = 2$
$4 - 14b = 2$
$-14b = -2$
$b = \frac{1}{7}$
将$b = \frac{1}{7}$代入$a = 4 - 7b$，得：
$a = 4 - 7×\frac{1}{7} = 4 - 1 = 3$
$a^2 - 49b^2 = (a + 7b)(a - 7b)$
已知$a - 7b = 2$，$a + 7b = 3 + 7×\frac{1}{7} = 3 + 1 = 4$，则：
$a^2 - 49b^2 = 4×2 = 8$
8
5. （教材变式）把下列各式分解因式：
（1）$x^{2}-25y^{2}$；
（2）$-\frac{1}{4}x^{2}y^{2}+0.09$；
（3）$a^{2}b^{4}-\frac{1}{16}$；
（4）$9x^{2}-(x - 2y)^{2}$.
答案：5. (1) $(x-5y)(x+5y)$ (2) $(0.3+\frac{1}{2}xy)(0.3-\frac{1}{2}xy)$
(3) $(ab^{2}+\frac{1}{4})(ab^{2}-\frac{1}{4})$ (4) $4(2x-y)(x+y)$
