新知梳理
1. 正方形的概念：四条边
相等
，四个角都是
直角
的四边形叫作正方形。
2. 正方形的判定定理：(1)有一组邻边
相等
的矩形是正方形。(2)有一个角是
直角
的菱形是正方形。
3. 正方形的性质定理：(1)正方形的四条边
相等
，四个角都是
直角
。(2)正方形的对角线
相等
且互相垂直
平分
。
答案：1. 相等 直角 2.(1)相等 (2)直角 3.(1)相等 直角 (2)相等 平分
1. 对于正方形的两条对角线，下列说法不成立的是(
D
)
A.互相垂直
B.互相平分
C.相等
D.夹角为$45^{\circ}$
答案：1.D
2. 如图，在正方形$ABCD$中，分别以点$A$，$B$为圆心，以$AB$的长为半径画弧，两弧交于点$E$，连接$DE$，则$\angle CDE$的度数为
15°
。
答案：2.15°
解析：
解：连接AE，BE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠ADC=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
3. (分类讨论思想)(2025·乐山)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$。小乐同学欲添加两个条件使得四边形$ABCD$是正方形，现有三个条件可供选择：①$AC⊥ BD$；②$AC = BD$；③$\angle ADC = 90^{\circ}$。正确的组合是
①②或①③
(填序号)。
答案：3.①②或①③
解析：
解：在$□ABCD$中，
若添加条件①$AC⊥BD$和②$AC=BD$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AC=BD$，所以四边形$ABCD$是矩形；又因为$AC⊥BD$，所以矩形$ABCD$是正方形。
若添加条件①$AC⊥BD$和③$\angle ADC=90^{\circ}$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$\angle ADC=90^{\circ}$，所以四边形$ABCD$是矩形；又因为$AC⊥BD$，所以矩形$ABCD$是正方形。
正确的组合是①②或①③。
4. （2025·齐齐哈尔）如图，在正方形$ABCD$内部取一点$E$，使$\angle CED = 90^{\circ}$，将线段$CE$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CE'$，连接$E'B$并延长，交$DE$的延长线于点$F$。求证：四边形$CEFE'$是正方形。
答案：4.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,BC=DC.
∵线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE',
∴∠ECE'=90°, CE'=CE,
∴∠ECE'=∠DCB,
∴∠ECE'−∠BCE= ∠DCB−∠BCE,即∠BCE'=∠DCE.在△BCE'和△DCE中, $\begin{cases} BC=DC, \\ \angle BCE'=\angle DCE, \\ CE'=CE,\end{cases}$ ∠CE'B= ∠CED=90°.
∵∠DEF=∠CED+∠CEF=180°,
∴∠CEF=90°,
∴四边形CEFE'是矩形.又
∵CE=CE',
∴四边形CEFE'是正方形
