新知梳理
菱形的判定定理：
(1)四边相等的
四边形
是菱形.
(2)对角线
互相垂直
的平行四边形是菱形.
答案：(1)四边形 (2)互相垂直
1. 下列选项中，能使□ABCD 成为菱形的是(
B
)
A.AB=CD
B.AB=BC
C.∠BAD=90°
D.AC=BD
答案：1.B
2. (2025·长春改编)如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，对角线 AC，BD 相交于点 O. 若AB=CD=5，AC=8，BD=6，则四边形 ABCD 是(
B
)
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.一般平行四边形
答案：2.B
解析：
证明：
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
∵AO²+BO²=4²+3²=25，AB²=5²=25，
∴AO²+BO²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
答案：B
3. (新考法·条件开放题)如图，在△ABC 中，AD，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE//CD，CE//AD. 有三个条件：① AB=AC；② AB=BC；③ AC=BC. 从中选择一个作为已知条件，则能使四边形 ADCE 为菱形的是
②
(填序号).
答案：3.②
解析：
证明：
∵AE//CD，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形。
选择条件②：AB=BC
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴∠DAC=∠BAC/2，∠DCA=∠BCA/2，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD。
∵四边形ADCE是平行四边形，且AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形。
结论：能使四边形ADCE为菱形的是②。
②
4. (2025·湖南)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，AB=3，则四边形 ABCD 的周长为
12
.
答案：4.12
解析：
证明：
∵对角线AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB=3，
∴菱形ABCD的周长为4×3=12.
故答案为12.
5. （教材变式）（2025·徐州）如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，EF⊥AC 于点 G，交AD 于点 F，AB⊥AC，连接 AE，CF. 求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形 AECF 是菱形.
答案：5.(1)
∵AB⊥AC,E为BC的中点,
∴AE=BE=CE.
∵EF⊥AC,
∴AG=CG.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠FAG=∠ECG.在△AGF和△CGE中,
$\begin{cases} ∠FAG=∠ECG, \\ AG=CG, \\ ∠AGF=∠CGE \end{cases}$
∴△AGF≌△CGE(ASA) (2)由(1)知,
∠AGF=∠CGE,
△AGF≌△CGE,
∴AF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,即AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形
