新知梳理
1. 有一组
邻边
相等的平行四边形叫作菱形.
2. 菱形是特殊的平行四边形，具有
平行四边形
的一切性质.
3. 菱形的性质定理：菱形的四条边
相等
，对角线互相
垂直
.
答案：1. 邻边 2. 平行四边形 3. 相等 垂直
1. (2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(
A
)
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
答案：1. A
2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCD$ 的顶点 $D$ 在 $y$ 轴上，边 $AB$ 在 $x$ 轴上. 若点 $C$ 的坐标为 $(5,4)$，则点 $A$ 的坐标为(
C
)
A.$(3,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-3,0)$
D.$(-2,0)$
答案：2. C
解析：
解：
∵菱形$ABCD$，$AB$在$x$轴上，$D$在$y$轴上，$C(5,4)$
∴$CD// AB$，$CD=AD=BC=AB$
∵$CD// AB$，$AB$在$x$轴上
∴$D$点纵坐标与$C$点相同，$D(0,4)$
$CD=5-0=5$，故$AD=5$
设$A(a,0)$，则$OA=|a|$
在$Rt\triangle AOD$中，$AD^2=OA^2+OD^2$，$OD=4$
$5^2=|a|^2+4^2$，$|a|=3$
∵$A$在$x$轴负半轴
∴$a=-3$，即$A(-3,0)$
C
3. 如图，菱形 $ABCD$ 的周长为 $4\mathrm{cm}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则对角线 $AC$ 的长为
1cm
.
答案：3. 1cm
解析：
解：
∵菱形$ABCD$的周长为$4\mathrm{cm}$，
∴菱形的边长$AB = BC = CD = DA=\frac{4}{4}=1\mathrm{cm}$。
∵$\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$AC = AB = 1\mathrm{cm}$。
故对角线$AC$的长为$1\mathrm{cm}$。
4. (整体思想)(2025·福建)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 且与边 $AB$，$CD$ 分别相交于点 $E$，$F$. 若 $OA = 2$，$OD = 1$，则 $\triangle AOE$ 与 $\triangle DOF$ 的面积之和为
1
.
答案：4. 1
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB // CD$，$OA = OC$，$OB = OD$，$AC ⊥ BD$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle OAE = \angle OCF$，$\angle OEA = \angle OFC$。
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中，
$\begin{cases}\angle OAE = \angle OCF \\\angle OEA = \angle OFC \\OA = OC\end{cases}$
∴ $\triangle AOE \cong \triangle COF$（AAS），
∴ $S_{\triangle AOE} = S_{\triangle COF}$。
∵ $OA = 2$，$OD = 1$，
∴ $S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} × OA × OD = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
∵ $S_{\triangle AOD} = S_{\triangle DOF} + S_{\triangle AOF}$，且 $S_{\triangle AOF} = S_{\triangle AOE}$，
∴ $S_{\triangle AOE} + S_{\triangle DOF} = S_{\triangle AOD} = 1$。
1
5. （2025·泸州）如图，在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $AE = CF$. 求证：$AF = CE$.
答案：5.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC.
∵AE = CF，
∴AB - AE = BC - CF，即BE = BF.在△ABF和△CBE中，
$\begin{cases}AB = CB, \\ \angle B = \angle B, \\BF = BE,\end{cases} $
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴AF = CE
