新知梳理
1. 有一个角是
直角
的平行四边形叫作矩形. 矩形也叫
长方形
.
2. 矩形是特殊的平行四边形，具有
平行四边形
的一切性质.
3. 矩形的性质定理：矩形的四个角都是
直角
，对角线
相等
.
答案：1.直角 长方形 2.平行四边形 3.直角 相等
1. 已知矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则下列结论不一定成立的是(
D
)
A.$∠DAO$ 与 $∠ABO$ 互余
B.$OA = OB = OC = OD$
C.$AB// CD$ 且 $AB = CD$
D.$∠AOB = 60^{\circ}$
答案：1.D
2. (2024·辽宁)如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AD$ 上. 当 $\triangle EBC$ 是等边三角形时，$∠AEB$ 的度数为(
C
)
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案：2.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle A = \angle ABC = 90°$，$AD // BC$。
∵$\triangle EBC$是等边三角形，
∴$EB = BC$，$\angle EBC = 60°$。
∴$\angle ABE = \angle ABC - \angle EBC = 90° - 60° = 30°$。
∵$AD // BC$，
∴$\angle AEB = \angle EBC = 60°$。
答案：C
3. 如图，$BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线，延长 $BC$ 至点 $E$，使 $CE = BD$，连接 $AE$. 如果 $∠ADB = 30^{\circ}$，那么 $∠E$ 的度数为
15°
.
答案：$3.15^{\circ}$
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$BD=AC$（矩形对角线相等）。
∵$\angle ADB=30^{\circ}$，
∴在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD=60^{\circ}$，$BD=2AB$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半），
∴$AC=BD=2AB$。
∵$CE=BD$，
∴$CE=AC$，
∴$\triangle ACE$是等腰三角形，$\angle CAE=\angle E$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAC=\angle ACB$（内错角相等）。
∵$ABCD$是矩形，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$，
∴$OA=OB$，
又$\angle ABD=60^{\circ}$，
∴$\triangle AOB$是等边三角形，$\angle BAO=60^{\circ}$，
∴$\angle DAC=\angle BAD - \angle BAO=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
∴$\angle ACB=\angle DAC=30^{\circ}$。
∵$\angle ACB$是$\triangle ACE$的外角，
∴$\angle ACB=\angle CAE + \angle E=2\angle E$，
∴$\angle E=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$。
$15^{\circ}$
4. (2025·广东改编)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 是边 $BC$ 的三等分点，连接 $DE$，$AF$ 相交于点 $G$. 若 $AB = 8$，$BC = 12$，则 $GE^{2}+GF^{2}$ 的值为
16
.
答案：4.16
解析：
解：以点$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为$AB = 8$，$BC = 12$，$E$，$F$是边$BC$的三等分点，所以各点坐标为：$A(0,8)$，$B(0,0)$，$C(12,0)$，$D(12,8)$，$E(4,0)$，$F(8,0)$。
设直线$AF$的解析式为$y = k_1x + b_1$，将$A(0,8)$，$F(8,0)$代入得：$\begin{cases}b_1 = 8 \\ 8k_1 + b_1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1 = -1 \\ b_1 = 8\end{cases}$，所以直线$AF$：$y = -x + 8$。
设直线$DE$的解析式为$y = k_2x + b_2$，将$D(12,8)$，$E(4,0)$代入得：$\begin{cases}12k_2 + b_2 = 8 \\ 4k_2 + b_2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = 1 \\ b_2 = -4\end{cases}$，所以直线$DE$：$y = x - 4$。
联立$\begin{cases}y = -x + 8 \\ y = x - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 2\end{cases}$，即$G(6,2)$。
$GE^2 = (6 - 4)^2 + (2 - 0)^2 = 4 + 4 = 8$，$GF^2 = (6 - 8)^2 + (2 - 0)^2 = 4 + 4 = 8$，所以$GE^2 + GF^2 = 8 + 8 = 16$。
16
5. （教材变式）如图，将矩形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠，点 $B$ 的对应点为 $E$，$AE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$.
（1）求证：$\triangle DAF\cong\triangle ECF$；
（2）若 $∠ECF = 40^{\circ}$，求 $∠CAB$ 的度数.
答案：5.(1)
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠,
∴$DA=BC=EC, ∠D=∠B=∠E=90^{\circ}.$在△DAF和△ECF中,
$\begin{cases} ∠DFA=∠EFC,\\ ∠D=∠E,\\ DA=EC, \end{cases}$
∴△DAF≌△ECF(AAS) (2)由(1)知,△DAF≌△ECF,
∴$∠DAF=∠ECF=40^{\circ}.$
∵四边形ABCD是矩形,
∴$∠DAB=90^{\circ},$
∴$∠EAB=∠DAB-∠DAF=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}.$由折叠知,∠EAC=∠CAB.
∴$∠CAB=\frac{1}{2}∠EAB=\frac{1}{2} × 50^{\circ}=25^{\circ}$
