新知梳理
平行四边形的判定定理3：对角线
互相平分
的四边形是平行四边形.
答案：互相平分
1. 给出下列说法：① 对角线互相平分的四边形是平行四边形；② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④ 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. 其中，错误的是(
D
)
A.①
B.②
C.③
D.④
答案：1. D
2. (2024·济宁)如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA = OC$，请补充一个条件：
答案不唯一，如$OB=OD$
，使四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
答案：2. 答案不唯一，如$OB=OD$
3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 12$，$AO = CO = 5$，$BO = DO = 13$，求 $\angle ACD$ 的度数.
答案：3. $\because AO=CO=5,BO=DO=13$,$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$DO^{2}=169,CO^{2}=25$,$\therefore CD=AB=12$,$\therefore CD^{2}=144$,
$\therefore CD^{2}+CO^{2}=DO^{2}$,$\therefore \angle OCD=90^{\circ}$,即$\angle ACD=90^{\circ}$
4. （教材变式）如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $BE = EF = FD$，连接 $AE$，$EC$，$CF$，$FA$.
（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
（2）若 $\triangle ABE$ 的面积等于 $2$，求 $\triangle CFO$ 的面积.
答案：4.（1）$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AO=CO,BO=DO.\because BE=DF$,$\therefore BO-BE=DO-DF$,即$EO=FO$,$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形 （2）$\because BE=EF$,$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AEF}=2.\because EF$是$□ AECF$的对角线,$\therefore S_{\triangle AEF}=S_{\triangle CEF}=2$,$FO=\frac{1}{2}EF$,$\therefore S_{\triangle CFO}=\frac{1}{2}S_{\triangle CEF}=1$,
