新知梳理
1. 平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角线
互相平分
.
2. 平行四边形是中心对称图形，
对角线的交点
是对称中心.
答案：1. 互相平分 2. 对角线的交点
1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$AC = 6$，$BD = 8$，则$AB$的长可能是(
D
)
A.10
B.8
C.7
D.6
答案：1. D
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=4$。
在$\triangle AOB$中，由三角形三边关系得：
$BO - AO ＜ AB ＜ AO + BO$，
即$4 - 3 ＜ AB ＜ 3 + 4$，
$1 ＜ AB ＜ 7$。
结合选项，$AB$的长可能是$6$。
D
2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.若$AB = 12$，$\triangle OCD$的周长为$30$，则$AC + BD$等于(
C
)
A.18
B.30
C.36
D.40
答案：2. C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB = CD = 12$，$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$\triangle OCD$的周长为$30$，
∴$OC + OD + CD = 30$。
∵$CD = 12$，
∴$OC + OD = 30 - 12 = 18$。
∵$AC = 2OC$，$BD = 2OD$，
∴$AC + BD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36$。
C
3. (整体思想)如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$为对角线，$BC = 6$，$BC$边上的高为$5$，则涂色部分的面积之和为
15
.
答案：3. 15
解析：
在$□ABCD$中，$BC=6$，$BC$边上的高为$5$，则平行四边形面积为$BC×高=6×5=30$。
因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线交点是两条对角线的中点。根据中心对称性质，涂色部分与未涂色部分面积相等，故涂色部分面积之和为平行四边形面积的一半，即$\frac{1}{2}×30=15$。
15
4. (教材变式)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$MN$过点$O$且与边$AD$，$BC$分别相交于点$M$，$N$.若$□ ABCD$的周长为$20$，$MN = 4$，则四边形$CDMN$的周长为
14
.
答案：4. 14
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$AB=CD$，$AD=BC$。
∵平行四边形$ABCD$的周长为$20$，
∴$AD + BC + AB + CD = 20$，即$2(AD + CD)=20$，
∴$AD + CD = 10$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle MAO = \angle NCO$。
在$\triangle AOM$和$\triangle CON$中，
$\begin{cases} \angle MAO = \angle NCO \\OA = OC \\\angle AOM = \angle CON \end{cases}$，
∴$\triangle AOM\cong\triangle CON(ASA)$，
∴$OM = ON$，$AM = CN$。
∵$MN = 4$，
∴$OM = ON = 2$。
四边形$CDMN$的周长为：
$CD + DM + MN + CN = CD + (AD - AM) + MN + CN$。
∵$AM = CN$，
∴$CD + (AD - AM) + MN + AM = CD + AD + MN = 10 + 4 = 14$。
故四边形$CDMN$的周长为$14$。
14
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BD = 2AD$，点$E$在线段$OC$上，且$OE = \frac{1}{2}OA$.求证：$BE⊥ AC$.
答案：5.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,OA=OC，BD=2BO.
∵BD=2AD,
∴BO=AD,
∴BO=BC.
∵$OE=\frac{1}{2}OA,$
∴$OE=\frac{1}{2}OC，$即OE=CE,
∴BE⊥OC,即BE⊥AC
