新知梳理
1. 两组对边分别
平行
的四边形叫作平行四边形.
2. 平行四边形的性质定理1:平行四边形的对边
相等
，对角
相等
.
答案：1.平行 2.相等 相等
1. (2025·贵州改编)如图,在$□ ABCD$中,$AB = 3$,$AD = 5$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径作弧,交$BC$于点$E$,连接$AE$,则$EC$的长为(
D
)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案：1.D
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=5$，$AD// BC$，$\angle ABC=60°$。
∵以$A$为圆心，$AB$为半径作弧交$BC$于$E$，
∴$AE=AB=3$。
在$\triangle ABE$中，$AB=AE$，$\angle ABC=60°$，
∴$\triangle ABE$是等边三角形，
∴$BE=AB=3$。
∵$BC=5$，
∴$EC=BC-BE=5-3=2$。
答案：D
2. (教材变式)在$□ ABCD$中,$\angle B+\angle D = 200^{\circ}$,则$\angle A$的度数为
80°
.
答案：2.80°
解析：
在$□ABCD$中，$\angle B = \angle D$，$\angle A + \angle B = 180°$。
因为$\angle B + \angle D = 200°$，所以$2\angle B = 200°$，$\angle B = 100°$。
则$\angle A = 180° - \angle B = 180° - 100° = 80°$。
80°
3. 如果平行四边形的周长为$56\mathrm{cm}$,两邻边的长度比为$3:1$,那么这个平行四边形较长边的长为
21
$\mathrm{cm}$.
答案：3.21
解析：
设平行四边形较短边的长为$x\ \mathrm{cm}$，则较长边的长为$3x\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形的周长等于两邻边之和的$2$倍，所以可得方程：
$2(x + 3x) = 56$
$2×4x = 56$
$8x = 56$
$x = 7$
则较长边的长为$3x = 3×7 = 21\ \mathrm{cm}$。
21
4. 如图,在$□ ABCD$中,$BD = CD$,$AE⊥ BD$于点$E$.若$\angle C = 70^{\circ}$,则$\angle BAE$的度数为
50°
.
答案：4.50°
解析：
解：在$□ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，$\angle ABC=\angle ADC$，$\angle BAD=\angle C$。
因为$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle BAD = 70^{\circ}$。
因为$BD = CD$，所以$\triangle BCD$是等腰三角形，$\angle DBC=\angle C = 70^{\circ}$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADB=\angle DBC = 70^{\circ}$。
在$\triangle AED$中，$AE⊥ BD$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，则$\angle DAE=180^{\circ}-\angle AED-\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
所以$\angle BAE=\angle BAD-\angle DAE=70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$。
50°
5. (2024·广州)如图,在$□ ABCD$中,$BC = 2$,点$E$在$DA$的延长线上,$BE = 3$.若$BA$平分$\angle EBC$,则$DE$的长为
5
.
答案：5.5
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC = 2$，$AB = CD$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle EAB=\angle ABC$。
∵$BA$平分$\angle EBC$，
∴$\angle EBA=\angle ABC$。
∴$\angle EAB=\angle EBA$，
∴$EB = EA$。
∵$BE = 3$，
∴$EA = 3$。
∵$AD = 2$，
∴$DE=EA + AD=3 + 2=5$。
5
6. (2025·宜宾)如图,$E$是$□ ABCD$的边$CD$的中点,连接$AE$并延长,交$BC$的延长线于点$F$,$AD = 5$.
(1) 求证:$\triangle ADE\cong\triangle FCE$;
(2) 求$BF$的长.
答案：6.（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD=5，
∴∠D=∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.在△ADE和△FCE中，$\begin{cases} ∠D=∠FCE,\\DE=CE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE (ASA) （2）由（1）知，△ADE≌△FCE，
∴AD=FC=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10
