22. （11分）已知菱形$ABCD$的两条对角线的长分别为$2\sqrt{3} + 2$和$2\sqrt{3} - 2$，求菱形$ABCD$的周长和面积.
答案：22.$\because$菱形$ABCD$的边长为$\sqrt{ ( \frac { 2 \sqrt { 3 } + 2 } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 2 \sqrt { 3 } - 2 } { 2 } ) ^ { 2 } } = 2\sqrt{2}$，$\therefore$菱形$ABCD$的周长为$2\sqrt{2} × 4 = 8\sqrt{2}$，面积为$\frac { 1 } { 2 } × (2\sqrt{3} + 2) × (2\sqrt{3} - 2) = 4$
解析：
解：菱形的边长为$\sqrt{(\frac{2\sqrt{3}+2}{2})^2 + (\frac{2\sqrt{3}-2}{2})^2}$
$\begin{aligned}&=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2}\\&=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1}\\&=\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1}\\&=\sqrt{8}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}$
周长为$4×2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
面积为$\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}+2)×(2\sqrt{3}-2)$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}×[(2\sqrt{3})^2 - 2^2]\\&=\frac{1}{2}×(12 - 4)\\&=\frac{1}{2}×8\\&=4\end{aligned}$
答：菱形$ABCD$的周长为$8\sqrt{2}$，面积为$4$。
23. （12分）请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）. 后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果. 在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊）的瓣数恰是斐波那契数列中的数. 斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用. 斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$表示，其中$n \geq 1$. 这是用无理数表示有理数的一个范例.
（1）通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数；
（2）求证：斐波那契数列中的连续三个数$x_{n - 1}$，$x_n$和$x_{n + 1}$之间存在以下关系：$x_{n + 1} - x_n = x_{n - 1}$（$n$为正整数，且$n \geq 2$）.
答案：23.(1)当$n = 1$时，可得第1个数为$\frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } - \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × \sqrt { 5 } = 1$；当$n = 2$时，可得第2个数为$\frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { 2 } ] = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } + \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) × ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } - \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × 1 × \sqrt { 5 } = 1$ (2)$x_{n + 1} - x_n = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n + 1 } - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n + 1 } ] - \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n } - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n } ] = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n + 1 } - ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n + 1 } + ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ] = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) × ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } - 1 ) - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) × ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } - 1 ) ] = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n - 1 } × \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } × \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n - 1 } × \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } × \frac { - 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ] = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } × [ ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n - 1 } - ( \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } ) ^ { n - 1 } ] = x _ { n - 1 }$，即$x_{n + 1} - x_n = x_{n - 1}$
解析：
（1）当$n = 1$时，第1个数为$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^1 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^1] = \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} × \sqrt{5} = 1$；当$n = 2$时，第2个数为$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^2] = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2})(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})] = \frac{1}{\sqrt{5}} × 1 × \sqrt{5} = 1$。
（2）证明：$x_{n + 1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n + 1} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n + 1}] - \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1) - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1)]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n × \frac{ - (1 + \sqrt{5})}{2}]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n × \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n - 1} × \frac{(1 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4} + (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n - 1} × \frac{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})}{4}]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n - 1} × 1 + (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n - 1} × (-1)]$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n - 1} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n - 1}] = x_{n - 1}$，即$x_{n + 1} - x_n = x_{n - 1}$。
