12. 在如图所示的方格中，要使横行、竖列、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格中的实数之积为
$6\sqrt{2}$
.
答案：12.$6\sqrt{2}$
解析：
设第一行三个数的积为$k$，则$k = 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$。
设中间空格的数为$x$，第三行第一个空格的数为$y$。
由第一列三个数相乘得$k$：$3\sqrt{2} × 1 × y = 6\sqrt{6}$，解得$y = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$。
由第三列三个数相乘得$k$：$\sqrt{3} × 6 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$，符合$k$的值。
由第二列三个数相乘得$k$：$2 × x × 3 = 6\sqrt{6}$，解得$x = \sqrt{6}$。
两空格中的数分别为$x = \sqrt{6}$，$y = 2\sqrt{3}$，它们的积为$\sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$。
$6\sqrt{2}$
13. 若$(2x + y - 5)^2 + \sqrt{x + 2y + 4} = 0$，则$x - y$的值为
9
.
答案：13.9
解析：
解：因为$(2x + y - 5)^2 \geq 0$，$\sqrt{x + 2y + 4} \geq 0$，且$(2x + y - 5)^2 + \sqrt{x + 2y + 4} = 0$，所以可得方程组：
$\begin{cases}2x + y - 5 = 0 \\x + 2y + 4 = 0\end{cases}$
由第一个方程得：$y = 5 - 2x$，将其代入第二个方程：
$x + 2(5 - 2x) + 4 = 0$
$x + 10 - 4x + 4 = 0$
$-3x + 14 = 0$
$-3x = -14$
$x = \frac{14}{3}$
将$x = \frac{14}{3}$代入$y = 5 - 2x$：
$y = 5 - 2×\frac{14}{3} = 5 - \frac{28}{3} = \frac{15}{3} - \frac{28}{3} = -\frac{13}{3}$
则$x - y = \frac{14}{3} - (-\frac{13}{3}) = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$
9
14. 已知一个等腰直角三角形的面积为16，则这个等腰直角三角形的周长为
$8\sqrt{2}+8$
.
答案：14.$8\sqrt{2}+8$
解析：
设等腰直角三角形的直角边长为$a$。
因为等腰直角三角形的面积为$16$，根据面积公式$\frac{1}{2}a^2 = 16$，解得$a^2 = 32$，$a = 4\sqrt{2}$（边长为正数）。
斜边长为$\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} × \sqrt{2} = 8$。
周长为$a + a + 8 = 2a + 8 = 2×4\sqrt{2} + 8 = 8\sqrt{2} + 8$。
$8\sqrt{2}+8$
15. 已知$mn = \sqrt{3}$，$m - n = 3\sqrt{3} - 2$，则$(m + 1)(n - 1)$的值为
$1 - 2\sqrt{3}$
.
答案：15.$1 - 2\sqrt{3}$
解析：
$(m + 1)(n - 1)$
$= mn - m + n - 1$
$= mn - (m - n) - 1$
已知$mn = \sqrt{3}$，$m - n = 3\sqrt{3} - 2$，代入上式得：
$\sqrt{3} - (3\sqrt{3} - 2) - 1$
$= \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 - 1$
$= -2\sqrt{3} + 1$
$= 1 - 2\sqrt{3}$
$1 - 2\sqrt{3}$
16. 若$\sqrt{5}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$\sqrt{5}b - a$的值为
$3 - 2\sqrt{5}$
.
答案：16.$3 - 2\sqrt{5}$
解析：
因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=\sqrt{5}-2$。
则$\sqrt{5}b - a=\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)-2=5 - 2\sqrt{5}-2=3 - 2\sqrt{5}$。
$3 - 2\sqrt{5}$
17. 如图，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}$，$C$是矩形$ECGF$与$\triangle ABC$的公共顶点，且$CE = 1$，$CG = 3$，$D$是$CB$延长线上一点，且$CD = 2$. 连接$BG$，$DF$，在矩形$ECGF$绕点$C$按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段$BG$达到最长和最短时，线段$DF$对应的长度分别为$m$和$n$，则$\frac{m}{n}$的值为
$\sqrt{13}$
.
答案：17.$\sqrt{13}$ 解析：当点$G$在线段$BC$的延长线上时，线段$BG$最长，此时$DF$的长为$\sqrt{26}$；当点$G$在线段$CB$的延长线上时，线段$BG$最短，此时$DF$的长为$\sqrt{2}$。$\therefore\frac{m}{n}=\sqrt{13}$。
解析：
解：在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}$，则$AC = BC = 1$。
矩形$ECGF$中，$CE = 1$，$CG = 3$，$D$是$CB$延长线上一点，$CD = 2$。
当矩形$ECGF$绕点$C$旋转时，点$G$的轨迹是以$C$为圆心，$CG = 3$为半径的圆。
当$BG$最长时，点$G$在$BC$延长线上，此时$BG = BC + CG = 1 + 3 = 4$。
此时$DF$：$D(0, -2)$，$F(1, 3)$，$DF = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$，即$m = \sqrt{26}$。
当$BG$最短时，点$G$在$CB$延长线上，此时$BG = |CG - BC| = 3 - 1 = 2$。
此时$DF$：$D(0, -2)$，$F(1, -3)$，$DF = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$，即$n = \sqrt{2}$。
$\frac{m}{n} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{2}} = \sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$
18. 如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落(书柜、衣柜与地面均无缝隙). 在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面. 若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的$x$至少为
74
(精确到1，参考数据：$\sqrt{21} \approx 4.58$).
答案：18.74 解析：如图 过点$M$作$MC// AN$，过点$N$作$ND// BM$，交$MC$于点$P$，连接$MN$。若$MN\geqslant33\mathrm{cm}$，则扫地机能从角落自由进出。根据已知条件，易得$PN = 60 - 30 = 30(\mathrm{cm})$，$\angle MPN = 90°$。在$\mathrm{Rt}\triangle PMN$中，当$MN = 33\mathrm{cm}$时，$MP = \sqrt{MN^2 - PN^2} = \sqrt{33^2 - 30^2} = 3\sqrt{21} \approx 13.74(\mathrm{cm})$。$\therefore x = 60 + 13.74 = 73.74 \approx 74$，$\therefore$图中的$x$至少为74。
19. （8分）计算：
（1）$\frac{1}{2}\sqrt{12} - (3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2})$；
（2）$\sqrt{27} ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
（3）$(6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}) ÷ (-\frac{1}{3}\sqrt{x})(x ＞ 0)$；
（4）$(1 - \frac{\sqrt{6} + 1}{3}) × \frac{\sqrt{6} + 2}{3}$.
答案：19.(1)$-\sqrt{2}$ (2)$6\sqrt{2}$ (3)$-3$ (4)$-\frac{2}{9}$
解析：
解：原式$=(\frac{3}{3}-\frac{\sqrt{6}+1}{3})×\frac{\sqrt{6}+2}{3}$
$=\frac{3 - \sqrt{6} - 1}{3}×\frac{\sqrt{6}+2}{3}$
$=\frac{2 - \sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}+2}{3}$
$=\frac{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})}{9}$
$=\frac{2^{2}-(\sqrt{6})^{2}}{9}$
$=\frac{4 - 6}{9}$
$=-\frac{2}{9}$
