1. 有下列各式：$\frac{a}{5}$，$\frac{n}{2m}$，$\frac{1}{2\pi}$，$\frac{a + b}{b}$，$\frac{a + b}{3}$，$\frac{yz - 5}{5z}$。其中，分式有(
C
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.5 个
答案：1.C
解析：
分式是形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B\neq0$）的式子。
$\frac{a}{5}$：分母为常数$5$，不是分式。
$\frac{n}{2m}$：分母$2m$含字母$m$，是分式。
$\frac{1}{2\pi}$：$\pi$是常数，分母为常数，不是分式。
$\frac{a + b}{b}$：分母$b$含字母，是分式。
$\frac{a + b}{3}$：分母为常数$3$，不是分式。
$\frac{yz - 5}{5z}$：分母$5z$含字母$z$，是分式。
综上，分式有$\frac{n}{2m}$，$\frac{a + b}{b}$，$\frac{yz - 5}{5z}$，共3个。
C
2. 若代数式$\frac{x}{x^2 - 1}$的值是 0，则 x 的值为(
B
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案：2.B
解析：
要使代数式$\frac{x}{x^2 - 1}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。
分子$x = 0$。
分母$x^2 - 1 \neq 0$，即$x^2 \neq 1$，解得$x \neq \pm 1$。
综上，$x = 0$。
B
3. 在分式$\frac{xy}{x - 3y}$中，把 x 和 y 都扩大为原来的 2 倍，则分式的值(
B
)
A.不变
B.扩大为原来的 2 倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.扩大为原来的 4 倍
答案：3.B
解析：
将$x$和$y$都扩大为原来的$2$倍，新的分式为$\frac{(2x)(2y)}{2x - 3(2y)}=\frac{4xy}{2(x - 3y)}=\frac{2xy}{x - 3y}$，是原分式的$2$倍。
B
4. 计算$\frac{x}{x - 2y} - \frac{2y}{x - 2y}$的结果为(
A
)
A.1
B.x - 2y
C.$\frac{1}{x - 2y}$
D.$-\frac{x - 2y}{4y}$
答案：4.A
解析：
$\frac{x}{x - 2y} - \frac{2y}{x - 2y} = \frac{x - 2y}{x - 2y} = 1$，结果为A。
5. 已知 A 为整式。若计算$\frac{A}{x
y + y^2} - \frac{y}{x^2 + xy}$的结果为$\frac{x - y}{xy}$，则 A 等于(
A
)
A.x
B.y
C.x + y
D.x - y
答案：5.A
解析：
$\frac{A}{xy + y^2} - \frac{y}{x^2 + xy} = \frac{x - y}{xy}$
$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$
$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$
$Ax - y^2 = (x - y)(x + y)$
$Ax - y^2 = x^2 - y^2$
$Ax = x^2$
$A = x$
A
6. 如果$x^2 - x - 1 = 0$，那么$(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$的值为(
D
)
A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案：6.D
解析：
$\begin{aligned}&(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}\\=&(\frac{2x - (x + 1)}{x(x + 1)}) × \frac{(x + 1)^2}{x(x - 1)}\\=&\frac{x - 1}{x(x + 1)} × \frac{(x + 1)^2}{x(x - 1)}\\=&\frac{x + 1}{x^2}\\\because x^2 - x - 1 = 0&\Rightarrow x^2 = x + 1\\\therefore \frac{x + 1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} = 1\end{aligned}$
D
7. 若关于 x 的不等式组$\begin{cases}\frac{x + 2}{3} ＞ \frac{x}{2} + 1, \\ 4x + a ＜ x - 1\end{cases}$的解集为$x ＜ -2$，且关于 y 的分式方程$\frac{a + 2}{y - 1} + \frac{y + 2}{1 - y} = 2$的解为正数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为( )
A.8
B.9
C.13
D.14
答案：7.C 解析：解不等式组，得$\begin{cases}x ＜ -2, \\x ＜ -\frac{a + 1}{3}.\end{cases}$
∵原不等式组的解集为$x ＜ -2$，
∴$-\frac{a + 1}{3} \geq -2$，解得$a \leq 5$.解分式方程，得$y = \frac{a + 2}{3}$.根据题意，得$y ＞ 0$且$y \neq 1$，即$\frac{a + 2}{3} ＞ 0$且$\frac{a + 2}{3} \neq 1$，解得$a ＞ -2$且$a \neq 1$.
∴$-2 ＜ a \leq 5$且$a \neq 1$.
∴满足条件的整数$a$的值为$-1,0,2,3,4,5$，它们的和为$-1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$.
8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子$x + \frac{1}{x}(x ＞ 0)$的最小值是 2”。其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中，设矩形的一边长是 x$(x ＞ 0)$，则其邻边长是$\frac{1}{x}$，矩形的周长是$2(x + \frac{1}{x})$。当矩形成为正方形时，就有$x = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$，解得$x = 1$(负值舍去)，这时矩形的周长取得最小值，为$2(x + \frac{1}{x}) = 4$，因此$x + \frac{1}{x}(x ＞ 0)$的最小值是 2。模仿张华的推导，可求得式子$\frac{x^2 + 9}{x}(x ＞ 0)$的最小值是(
C
)
A.2
B.1
C.6
D.10
答案：8.C 解析：
∵$x ＞ 0$，
∴$\frac{x^2 + 9}{x} = x + \frac{9}{x}$.在面积是9的矩形中，设矩形的一边长为$x$，则其邻边长是$\frac{9}{x}$，矩形的周长是$2(x + \frac{9}{x})$.当矩形成为正方形时，就有$x = \frac{9}{x}(x ＞ 0)$，解得$x = 3$(负值舍去)，这时矩形的周长取得最小值，为$2(x + \frac{9}{x}) = 12$，因此$x + \frac{9}{x}(x ＞ 0)$的最小值是6.
