24. (10分)某同学在计算如图①所示的正方形$ ABCD $的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
角度一：把它看成是由2个小矩形和2个小正方形组成的，则它的面积为$ a^{2} + 2ab + b^{2} $。
角度二：把它看成是1个大正方形，则它的面积为$ (a + b)^{2} $。
因此可得到等式$ a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2} $。
(1)类比该同学的方法，由图②中的大正方形可得等式：
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc=(a + b + c)^{2}$
；
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若$ a + b + c = 10,ab + ac + bc = 35 $，则$ a^{2} + b^{2} + c^{2} $的值为
30
；
(3)试画出面积为$ 2a^{2} + 3ab + b^{2} $的矩形的示意图(标注好$ a,b $)，由图形可知，多项式$ 2a^{2} + 3ab + b^{2} $可分解因式为
(2a + b)(a + b)
；
(4)若将代数式$ (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ··· + a_{20})^{2} $展开后合并同类项，得到多项式$ N $，则多项式$ N $一共有多少项？
答案：24.(1)a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc=(a + b + c)^{2} (2)30
(3)示意图不唯一，如图所示 (2a + b)(a + b)
(4)(a_{1}+a_{2})^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}，共有1 + 2 = 3(项)；(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2a_{1}a_{2}+2a_{2}a_{3}+2a_{1}a_{3}，共有1 + 2 + 3 = 6(项)……
∴将代数式(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{20})^{2}展开、合并同类项后共有1 + 2 + 3 +...+20 = $\frac{(1 + 20)×20}{2}$ = 210(项)
