13. (教材变式)当$m ＞ 0$时，比较大小：$\frac{2m + 2}{m + 2}$_________$\frac{m + 2}{2}$(填“＞”“＜”或“=”)。
答案：13.$＜$ 解析：$\frac{2m+2}{m+2}-\frac{m+2}{2}=\frac{-m^2}{2(m+2)}$.
∵ $m＞0$,
∴ $-m^2＜0$, $2(m+2)＞0$.
∴ $\frac{-m^2}{2(m+2)}＜0$.
∴ $\frac{2m+2}{m+2}＜\frac{m+2}{2}$.
14. 计算：
（1）（2025·无锡）$\frac{1}{m - 1} + \frac{m^2 - 2m}{m - 1}$；
（2）$\frac{x + 3}{x^2 - 2x + 1} · \frac{x - 1}{x^2 + 3x} + \frac{1}{x}$；
（3）（2025·陕西）$(1 - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 + 4x + 4}$；
（4）$(\frac{3a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$。
答案：14.(1) $m-1$ (2) $\frac{1}{x-1}$ (3) $x+2$ (4) $\frac{1}{a-1}$
解析：
（1）$\frac{1}{m - 1} + \frac{m^2 - 2m}{m - 1}$
$=\frac{1 + m^2 - 2m}{m - 1}$
$=\frac{m^2 - 2m + 1}{m - 1}$
$=\frac{(m - 1)^2}{m - 1}$
$=m - 1$
（2）$\frac{x + 3}{x^2 - 2x + 1} · \frac{x - 1}{x^2 + 3x} + \frac{1}{x}$
$=\frac{x + 3}{(x - 1)^2} · \frac{x - 1}{x(x + 3)} + \frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x(x - 1)} + \frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x(x - 1)} + \frac{x - 1}{x(x - 1)}$
$=\frac{1 + x - 1}{x(x - 1)}$
$=\frac{x}{x(x - 1)}$
$=\frac{1}{x - 1}$
（3）$(1 - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 + 4x + 4}$
$=(\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{x + 1}{(x + 2)^2}$
$=\frac{x + 2 - 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^2}{x + 1}$
$=\frac{x + 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^2}{x + 1}$
$=x + 2$
（4）$(\frac{3a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$
$=(\frac{3a}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)}) ÷ \frac{2a - 1}{a + 1}$
$=\frac{3a - (a + 1)}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{2a - 1}$
$=\frac{3a - a - 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{2a - 1}$
$=\frac{2a - 1}{(a + 1)(a - 1)} · \frac{a + 1}{2a - 1}$
$=\frac{1}{a - 1}$
15. （2025·广安）先化简，再求值：$(\frac{1}{x + 1} + 1) ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x = -4$。
答案：15. 原式=$(\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}) · \frac{x^2+2x+1}{x^2-4}=\frac{x+2}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$, 当 $x=-4$ 时, 原式=$\frac{-4+1}{-4-2}=\frac{1}{2}$
16. （新考法·新定义题）对于正数$x$，规定：$f(x) = \frac{2x}{x + 1}$，等式右侧是通常的混合运算。
（1）求证：$f(x) + f(\frac{1}{x}) = 2$；
（2）计算：$f(\frac{1}{101}) + f(\frac{1}{100}) + f(\frac{1}{99}) + ··· + f(\frac{1}{3}) + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + f(3) + ··· + f(99) + f(100) + f(101)$。
答案：16.(1) $f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x+1}+\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{1+x}=\frac{2x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$ (2) 由(1)，得 $f(2)+f(\frac{1}{2})=2$, $f(3)+f(\frac{1}{3})=2$, $f(4)+f(\frac{1}{4})=2$, ⋯, $f(101)+f(\frac{1}{101})=2$.
∴ 原式=$2 × 100+f(1)=200+\frac{2 × 1}{1+1}=201$
