1. (2025·海南)分式方程$\frac{x - 2025}{x + 3}=0$的解是 (
C
)
A.$x = - 3$
B.$x = 3$
C.$x = 2025$
D.$x = - 2025$
答案：1.C
解析：
要使分式方程$\frac{x - 2025}{x + 3}=0$成立，分子必须为$0$且分母不为$0$。
分子$x - 2025 = 0$，解得$x = 2025$。
分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$。
$x = 2025$满足分母不为$0$，所以方程的解是$x = 2025$。
C
2. 方程$\frac{1}{x - 1}-2=\frac{3x}{1 - x}$两边同乘$x - 1$后变形为 (
B
)
A.$1 - 2 = - 3x$
B.$1 - 2(x - 1)= - 3x$
C.$1 - 2(1 - x)= - 3x$
D.$1 - 2(x - 1)=3x$
答案：2.B
解析：
方程两边同乘$x - 1$，得：$1 - 2(x - 1) = -3x$，故选B。
3. (2025·镇江)分式方程$\frac{3 - x}{4 + x}=\frac{1}{2}$的解为
$x = \frac{2}{3}$
.
答案：3.$x = \frac{2}{3}$
解析：
解：方程两边同乘$2(4 + x)$，得$2(3 - x) = 4 + x$，
去括号，得$6 - 2x = 4 + x$，
移项，得$-2x - x = 4 - 6$，
合并同类项，得$-3x = -2$，
系数化为$1$，得$x = \frac{2}{3}$，
检验：当$x = \frac{2}{3}$时，$4 + x = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \neq 0$，
所以$x = \frac{2}{3}$是原分式方程的解。
$x = \frac{2}{3}$
4. 若代数式$\frac{3}{x + 2}$与$\frac{2}{x - 1}$的值相等，则$x$的值为
7
.
答案：4.7
解析：
由题意得$\frac{3}{x + 2} = \frac{2}{x - 1}$，
交叉相乘得$3(x - 1) = 2(x + 2)$，
去括号得$3x - 3 = 2x + 4$，
移项得$3x - 2x = 4 + 3$，
合并同类项得$x = 7$。
经检验，当$x = 7$时，$(x + 2)(x - 1) = (7 + 2)(7 - 1) = 9×6 = 54 ≠ 0$，
所以$x = 7$是原方程的解。
7
5. (教材变式)解方程：
（1）(2025·长沙)$\frac{3}{x + 1}=\frac{2}{2x - 1}$；
（2）$\frac{1}{x - 2}+\frac{1 - x}{2 - x}=3$；
（3）$\frac{x - 1}{x}=\frac{x + 1}{x - 1}$；
（4）$\frac{y}{y - 1}-1=\frac{2y}{3y - 3}$.
答案：5.(1)$x = \frac{5}{4}$ (2)$x = 3$ (3)$x = \frac{1}{3}$ (4)$y = \frac{3}{2}$
解析：
（1）解：方程两边同乘$(x + 1)(2x - 1)$，得$3(2x - 1) = 2(x + 1)$
$6x - 3 = 2x + 2$
$6x - 2x = 2 + 3$
$4x = 5$
$x = \frac{5}{4}$
检验：当$x = \frac{5}{4}$时，$(x + 1)(2x - 1) = (\frac{5}{4} + 1)(2×\frac{5}{4} - 1) = \frac{9}{4}×\frac{3}{2} = \frac{27}{8} \neq 0$，所以$x = \frac{5}{4}$是原方程的解。
（2）解：原方程可化为$\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x - 2} = 3$
方程两边同乘$x - 2$，得$1 + x - 1 = 3(x - 2)$
$x = 3x - 6$
$x - 3x = -6$
$-2x = -6$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 2 = 1 \neq 0$，所以$x = 3$是原方程的解。
（3）解：方程两边同乘$x(x - 1)$，得$(x - 1)^2 = x(x + 1)$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 + x$
$-2x - x = -1$
$-3x = -1$
$x = \frac{1}{3}$
检验：当$x = \frac{1}{3}$时，$x(x - 1) = \frac{1}{3}×(-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{9} \neq 0$，所以$x = \frac{1}{3}$是原方程的解。
（4）解：方程两边同乘$3(y - 1)$，得$3y - 3(y - 1) = 2y$
$3y - 3y + 3 = 2y$
$3 = 2y$
$y = \frac{3}{2}$
检验：当$y = \frac{3}{2}$时，$3(y - 1) = 3×(\frac{3}{2} - 1) = 3×\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 0$，所以$y = \frac{3}{2}$是原方程的解。
6. (新考向·跨学科)照相机成像运用了一个重要原理，用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v\neq f)$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片(像)到镜头的距离.已知$f$，$v$，则$u$等于 (
C
)
A.$\frac{fv}{f - v}$
B.$\frac{f - v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v - f}$
D.$\frac{v - f}{fv}$
答案：6.C
解析：
已知公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，移项可得$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$。通分计算右边：$\frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{v - f}{fv}$，则$\frac{1}{u}=\frac{v - f}{fv}$，所以$u=\frac{fv}{v - f}$。
C
7. 对于非零实数$a$，$b$，规定：$a\oplus b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，等式右侧是通常的混合运算.若$(2x - 1)\oplus 2 = 1$，则$x$的值为
$\frac{5}{6}$
.
答案：7.$\frac{5}{6}$
解析：
解：由题意得，$\frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2} = 1$
$\frac{1}{2x - 1} = 1 + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2x - 1} = \frac{3}{2}$
$3(2x - 1) = 2$
$6x - 3 = 2$
$6x = 5$
$x = \frac{5}{6}$
经检验，$x = \frac{5}{6}$是原方程的解。
$\frac{5}{6}$
