1. 若分式$\frac{25 - x^2}{x + 5}$的值为 0，则$x$的值为(
D
)
A.$\pm 5$
B.0
C.$-5$
D.5
答案：1.D
解析：
要使分式$\frac{25 - x^2}{x + 5}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
分子$25 - x^2 = 0$，即$x^2 = 25$，解得$x = \pm 5$。
分母$x + 5 \neq 0$，即$x \neq -5$。
综上，$x = 5$。
D
2. (2025·河南)化简$\frac{x^2 - 2}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}$的结果是(
A
)
A.$x + 1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x - 2$
答案：2.A
解析：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 2}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}&=\frac{x^2 - 2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\\&=\frac{x^2 - 2 + 1}{x - 1}\\&=\frac{x^2 - 1}{x - 1}\\&=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}\\&=x + 1\end{aligned}$
A
3. 计算$(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)$的结果是(
A
)
A.$-\frac{a}{b}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$-\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}$
答案：3.A
解析：
$\begin{aligned}(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)&=(\frac{ab - 1}{b}) ÷ (\frac{1 - ab}{a})\\&=\frac{ab - 1}{b} × \frac{a}{1 - ab}\\&=\frac{-(1 - ab)}{b} × \frac{a}{1 - ab}\\&=-\frac{a}{b}\end{aligned}$
A
4. 如果$a^2 + 2a - 1 = 0$，那么代数式$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}$的值为(
C
)
A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3
答案：4.C
解析：
$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}\\=&(\frac{a^2 - 4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\=&a(a + 2)\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$，原式的值为$1$。
C
5. (新考法·探究题)已知一列均不为 1 的数$a_1$，$a_2$，$a_3$，$···$，$a_n$满足如下关系：$a_2 = \frac{1 + a_1}{1 - a_1}$，$a_3 = \frac{1 + a_2}{1 - a_2}$，$a_4 = \frac{1 + a_3}{1 - a_3}$，$···$，$a_{n + 1} = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$。若$a_1 = 2$，则$a_{2026}$的值是(
C
)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.2
答案：5.C 解析：
∵ $a_1=2$,
∴ 由题意，分别求得 $a_2=-3$, $a_3=-\frac{1}{2}$, $a_4=\frac{1}{3}$, $a_5=2$, ⋯
∴ $a_n$ 的值按照 $2,-3,-\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ 的顺序循环出现.
∵ $2026 ÷ 4=506 ··· ··· 2$,
∴ $a_{2026}=a_2=-3$.
6. 若式子$\frac{x - 1}{x + 1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$x \neq -1$
。
答案：6. $x \neq -1$
7. (1)(2024·常州)$\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} =$
1
；(2)(2025·达州)$\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x} =$
$\frac{5}{x-y}$
。
答案：7.(1)1 (2) $\frac{5}{x-y}$
解析：
(1)$\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{1 + x}{x + 1} = 1$
(2)$\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x} = \frac{3x}{x - y} + \frac{5 - 3x}{x - y} = \frac{3x + 5 - 3x}{x - y} = \frac{5}{x - y}$
8. 若分式$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} · \frac{ax + ay}{(x + y)^2}$的值等于$-10$，则$a$的值为
$-\frac{1}{10}$
。
答案：8. $-\frac{1}{10}$
解析：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} · \frac{ax + ay}{(x + y)^2}\\=&\frac{(x + y)(x - y)}{a^2(x - y)} · \frac{a(x + y)}{(x + y)^2}\\=&\frac{(x + y)}{a^2} · \frac{a}{(x + y)}\\=&\frac{1}{a}\end{aligned}$
由题意得$\frac{1}{a}=-10$，解得$a=-\frac{1}{10}$
$-\frac{1}{10}$
9. 计算：
(1)$1 - \frac{2a}{3b} ÷ \frac{2a}{3b} · \frac{2b}{3a} =$
$\frac{3a-2b}{3a}$
；
(2)(2025·宜宾)$(\frac{x^2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) · \frac{1}{x + 1} =$
1
。
答案：9.(1) $\frac{3a-2b}{3a}$ (2)1
解析：
(1) $1 - \frac{2a}{3b} ÷ \frac{2a}{3b} · \frac{2b}{3a}$
$=1 - \frac{2a}{3b} · \frac{3b}{2a} · \frac{2b}{3a}$
$=1 - 1 · \frac{2b}{3a}$
$=1 - \frac{2b}{3a}$
$=\frac{3a}{3a} - \frac{2b}{3a}$
$=\frac{3a - 2b}{3a}$
(2) $(\frac{x^2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) · \frac{1}{x + 1}$
$=\frac{x^2 - 1}{x - 1} · \frac{1}{x + 1}$
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} · \frac{1}{x + 1}$
$=(x + 1) · \frac{1}{x + 1}$
$=1$
10. 已知非零实数$
x$，$
y$满足$y = \frac{x}{x + 1}$，则$\frac{x - y +
3xy}{xy}$的值为
4
。
答案：10.4
解析：
由题意得$y = \frac{x}{x + 1}$，等式两边同乘$x + 1$（$x\neq -1$），得$y(x + 1)=x$，即$xy + y = x$，移项可得$x - y = xy$。
将$x - y = xy$代入$\frac{x - y + 3xy}{xy}$，得$\frac{xy + 3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}$。
因为$x$，$y$为非零实数，所以$xy\neq 0$，则$\frac{4xy}{xy}=4$。
4
11. 若$x^2 + 3x = -1$，则$x - \frac{1}{x + 1}$的值为
$-2$
。
答案：11. $-2$
解析：
$\begin{aligned}x - \frac{1}{x + 1}&=\frac{x(x + 1) - 1}{x + 1}\\&=\frac{x^2 + x - 1}{x + 1}\\\because x^2 + 3x&=-1\\\therefore x^2&=-3x - 1\\\therefore \frac{x^2 + x - 1}{x + 1}&=\frac{-3x - 1 + x - 1}{x + 1}\\&=\frac{-2x - 2}{x + 1}\\&=\frac{-2(x + 1)}{x + 1}\\&=-2\end{aligned}$
12. 已知$ab = 1$，$b = 2a - 1$，则$\frac{1}{a} - \frac{2}{b}$的值为
$-1$
。
答案：12. $-1$ 解析：
∵ $b=2a-1$,
∴ $b-2a=-1$. 又
∵ $ab=1$,
∴ $\frac{1}{a}-\frac{2}{b}=\frac{b-2a}{ab}=\frac{-1}{1}=-1$.
