8. (教材变式)已知$m^{2}+\frac{4}{m^{2}}=15$，则$(\frac{2}{m}-m)^{2}$的值是
11
.
答案：8.11
解析：
$(\frac{2}{m}-m)^{2}=\frac{4}{m^{2}}-4+m^{2}=m^{2}+\frac{4}{m^{2}}-4$，已知$m^{2}+\frac{4}{m^{2}}=15$，则$15 - 4 = 11$。
9. 计算：
（1）$(\frac{2x - 1}{x - 2}-1)÷\frac{x + 1}{x^{2}-4}$；
（2）$(\frac{2}{m}-\frac{1}{n})÷(\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}-\frac{5n}{m})·(\frac{m}{2n}+\frac{2n}{m}+2)$.
答案：9.(1)$x + 2$ (2)$-\frac{m + 2n}{2mn}$
解析：
（1）$(\frac{2x - 1}{x - 2}-1)÷\frac{x + 1}{x^{2}-4}$
$=(\frac{2x - 1}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2})÷\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{2x - 1 - x + 2}{x - 2}·\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1}$
$=\frac{x + 1}{x - 2}·\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1}$
$=x + 2$
（2）$(\frac{2}{m}-\frac{1}{n})÷(\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}-\frac{5n}{m})·(\frac{m}{2n}+\frac{2n}{m}+2)$
$=(\frac{2n - m}{mn})÷(\frac{m^{2}+n^{2} - 5n^{2}}{mn})·(\frac{m^{2} + 4n^{2} + 4mn}{2mn})$
$=\frac{2n - m}{mn}÷\frac{m^{2} - 4n^{2}}{mn}·\frac{(m + 2n)^{2}}{2mn}$
$=\frac{-(m - 2n)}{mn}·\frac{mn}{(m + 2n)(m - 2n)}·\frac{(m + 2n)^{2}}{2mn}$
$=-\frac{m + 2n}{2mn}$
10. 先化简，再求值：
（1）（
2025·苏州）$(\frac{2}{x - 1}+1)·\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x + 1}$，其中$x = - 2$；
（2）$\frac{a^{2}-6a + 9}{a - 2}÷(a + 2+\frac{5}{2 - a})$，其中$a$是使不等式$\frac{a - 1}{2}\leq1$成立的正整数.
答案：10.(1)原式$=\frac{x}{x + 1}$.当$x = - 2$时，原式$=\frac{-2}{-2 + 1}=2$ (2)原式$=\frac{a - 3}{a + 3}$.解$\frac{a - 1}{2}\leq1$，得$a\leq3$.$\because a$是正整数，$\therefore a = 1$或$2$或$3$.根据分式有意义的条件，得$a - 2\neq0$且$2 - a\neq0$且$a - 3\neq0$且$a + 3\neq0$，即$a\neq2$且$a\neq\pm3$.$\therefore a = 1$.$\therefore$原式$=\frac{1 - 3}{1 + 3}=-\frac{1}{2}$
解析：
（2）解：原式$=\frac{(a-3)^2}{a-2}÷(\frac{(a+2)(2-a)+5}{2-a})$
$=\frac{(a-3)^2}{a-2}÷(\frac{4-a^2+5}{2-a})$
$=\frac{(a-3)^2}{a-2}÷\frac{9-a^2}{2-a}$
$=\frac{(a-3)^2}{a-2}·\frac{2-a}{-(a^2-9)}$
$=\frac{(a-3)^2}{a-2}·\frac{-(a-2)}{(a-3)(a+3)}$
$=\frac{a-3}{a+3}$
解不等式$\frac{a-1}{2}\leq1$，得$a\leq3$。
$\because a$是正整数，$\therefore a=1$或$2$或$3$。
根据分式有意义的条件，$a-2\neq0$，$2-a\neq0$，$a+3\neq0$，$a-3\neq0$，即$a\neq2$且$a\neq\pm3$，$\therefore a=1$。
$\therefore$原式$=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$
11. 已知$\vert3a - b + 1\vert+(3a-\frac{3}{2}b)^{2}=0$，求$\frac{b^{2}}{a + b}÷(\frac{b}{a - b}·\frac{ab}{a + b})$的值.
答案：11.由题意，得$\begin{cases}3a - b + 1 = 0\\3a - \frac{3}{2}b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1\\b = - 2\end{cases}$.$\therefore$原式$=\frac{a - b}{a}=\frac{-1 - (-2)}{-1}=-1$
解析：
解：由题意，得$\begin{cases}3a - b + 1 = 0\\3a - \frac{3}{2}b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\end{cases}$。
原式$=\frac{b^{2}}{a + b}÷(\frac{b}{a - b}·\frac{ab}{a + b})$
$=\frac{b^{2}}{a + b}÷\frac{ab^{2}}{(a - b)(a + b)}$
$=\frac{b^{2}}{a + b}·\frac{(a - b)(a + b)}{ab^{2}}$
$=\frac{a - b}{a}$
将$a = -1$，$b = -2$代入，得$\frac{-1 - (-2)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1$。
故答案为$-1$。
