1. 计算$(1+\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}+2x + 1}{x}$的结果是(
B
)
A.$x + 1$
B.$\frac{1}{x + 1}$
C.$\frac{x}{x + 1}$
D.$\frac{x + 1}{x}$
答案：1.B
解析：
$(1+\frac{1}{x})÷\frac{x^{2}+2x + 1}{x}$
$=(\frac{x}{x}+\frac{1}{x})÷\frac{(x+1)^2}{x}$
$=\frac{x+1}{x}×\frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{1}{x+1}$
B
2. 化简$\frac{16 - a^{2}}{a^{2}+4a + 4}÷\frac{a - 4}{2a + 4}·\frac{a + 2}{a + 4}$的结果是(
A
)
A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{2}{(a + 2)^{2}}$
D.$\frac{2}{(a + 2)^{2}}$
答案：2.A
解析：
$\begin{aligned}&\frac{16 - a^{2}}{a^{2}+4a + 4}÷\frac{a - 4}{2a + 4}·\frac{a + 2}{a + 4}\\=&\frac{-(a^{2}-16)}{(a + 2)^{2}}·\frac{2(a + 2)}{a - 4}·\frac{a + 2}{a + 4}\\=&\frac{-(a - 4)(a + 4)}{(a + 2)^{2}}·\frac{2(a + 2)}{a - 4}·\frac{a + 2}{a + 4}\\=&-2\end{aligned}$
A
3. 计算：$(a + b)÷(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=$
ab
.
答案：3.ab
解析：
$(a + b)÷(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
$=(a + b)÷(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})$
$=(a + b)÷\frac{a + b}{ab}$
$=(a + b)×\frac{ab}{a + b}$
$=ab$
4. 当$a = 2b$，$b\neq0$时，代数式$(\frac{a^{2}}{b}-a)÷\frac{a^{2}-b^{2}}{b}$的值为
$\frac{2}{3}$
.
答案：4.$\frac{2}{3}$
解析：
$(\frac{a^{2}}{b}-a)÷\frac{a^{2}-b^{2}}{b}$
$=(\frac{a^{2}}{b}-\frac{ab}{b})÷\frac{(a+b)(a-b)}{b}$
$=\frac{a^{2}-ab}{b}×\frac{b}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac{a(a - b)}{b}×\frac{b}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{a}{a + b}$
因为$a = 2b$，$b\neq0$，所以原式$=\frac{2b}{2b + b}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$
5. （教材变式）计算：
（1）（2025·辽宁）$\frac{1}{m + 1}÷\frac{m^{3}}{m^{2}+2m + 1}-\frac{1}{m^{3}}$；
（2）（2025·南通）$(\frac{3}{a + 3}+1)·\frac{a^{2}-9}{a + 6}$.
答案：5.(1)$\frac{1}{m^2}$ (2)$a - 3$
解析：
（1）解：原式$=\frac{1}{m+1}·\frac{(m+1)^2}{m^3}-\frac{1}{m^3}$
$=\frac{m+1}{m^3}-\frac{1}{m^3}$
$=\frac{m}{m^3}$
$=\frac{1}{m^2}$
（2）解：原式$=(\frac{3}{a+3}+\frac{a+3}{a+3})·\frac{(a+3)(a-3)}{a+6}$
$=\frac{a+6}{a+3}·\frac{(a+3)(a-3)}{a+6}$
$=a-3$
6. 化简$(1+\frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2}}{a^{2}-1}$的结果是(
B
)
A.$a + 1$
B.$\frac{a + 1}{a}$
C.$\frac{a - 1}{a}$
D.$\frac{a + 1}{a^{2}}$
答案：6.B
解析：
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{2}}{a^{2}-1}\\=&(\frac{a - 1}{a - 1}+\frac{1}{a - 1})×\frac{a^{2}-1}{a^{2}}\\=&\frac{a}{a - 1}×\frac{(a + 1)(a - 1)}{a^{2}}\\=&\frac{a + 1}{a}\end{aligned}$
结果是$\frac{a + 1}{a}$，选B。
7. 若$(\frac{4}{a^{2}-4}+\frac{1}{2 - a})· w = 1$，则$w$等于(
D
)
A.$a + 2$
B.$-a + 2$
C.$a - 2$
D.$-a - 2$
答案：7.D
解析：
解：$\begin{aligned}&(\frac{4}{a^2 - 4} + \frac{1}{2 - a})·w = 1\\&\mathrm{通分：}\frac{4}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{1}{a - 2} = \frac{4 - (a + 2)}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{2 - a}{(a + 2)(a - 2)} = -\frac{1}{a + 2}\\&-\frac{1}{a + 2}·w = 1\\&w = - (a + 2) = -a - 2\end{aligned}$
D
