9. 若分式$\frac{10x}{x^2 - 7}$无意义,则$x$的值为
$\pm \sqrt{7}$
.
答案：9.$\pm \sqrt{7}$
解析：
要使分式$\frac{10x}{x^2 - 7}$无意义，则分母$x^2 - 7 = 0$，解得$x^2 = 7$，$x = \pm \sqrt{7}$。
$\pm \sqrt{7}$
10. (1) 若分式$\frac{x^2 - x}{x - 1}$的值为$0$,则$x$的值为
0
；
(2) 若分式$\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$的值为$0$,则$x$的值为
-1
；
(3) 如果分式$\frac{4 - |x|}{x^2 - x - 12}$的值为$0$,那么$x$的值为
-4
.
答案：10.(1)0 (2)-1 (3)-4 解析:$\frac{4-|x|}{x^2-x-12}=\frac{4-|x|}{(x-4)(x+3)}$. 由$4-|x|=0$,得$x= \pm 4$. 当$x=4$时,分母$(x-4)(x+3)=0$; 当$x=-4$时,分母$(x-4)(x+3) \neq 0$. $\therefore x=-4$.
11. 已知点$(\frac{2025 + n^2}{n + 2},\frac{2026}{n - 8})$在第四象限,则$n$的取值范围是
-2＜n＜8
.
答案：11.$-2＜n＜8$
解析：
解：
∵点$(\frac{2025 + n^2}{n + 2},\frac{2026}{n - 8})$在第四象限，
∴$\begin{cases}\frac{2025 + n^2}{n + 2} ＞ 0 \\ \frac{2026}{n - 8} ＜ 0\end{cases}$。
∵$2025 + n^2 ＞ 0$恒成立，
∴$n + 2 ＞ 0$，解得$n ＞ -2$。
∵$2026 ＞ 0$，
∴$n - 8 ＜ 0$，解得$n ＜ 8$。
综上，$-2 ＜ n ＜ 8$。
12. 当整数$x=$
0或-1或-2或-5
时,分式$\frac{6}{x - 1}$的值是负整数.
答案：12.0或-1或-2或-5 解析:$\because x$是整数,$\therefore x-1$也是整数. $\because \frac{6}{x-1}$的值是负整数,$\therefore x-1=-1$或-2或-3或-6,解得$x=0$或-1或-2或-5.
13. (易错题)已知分式$\frac{x^2 + 2x + 1}{x - 2}$的值为负数,求$x$的取值范围.
答案：13.由题意,得$\begin{cases}x^2+2x+1=(x+1)^2 \neq 0, \\x-2＜0,\end{cases}$ 解得$x＜2$且$x \neq -1$
[易错分析]本题容易忽视“分式的分子$x^2+2x+1=0$时,分式的值不是负数”这一隐含条件.
14. 当$a = 2$时,是否存在$x$,使得分式$\frac{a + x}{a^2 - x^2}$的值为$0$?
答案：14.当$a=2$时,假设存在$x$,使得分式$\frac{a+x}{a^2-x^2}$的值为0,则原式=$\frac{2+x}{4-x^2}=0$,解得$x=-2$,此时分母$4-x^2=0$,分式无意义.
$\therefore$当$a=2$时,不存在$x$,使得分式$\frac{a+x}{a^2-x^2}$的值为0
15. (分类讨论思想)当$x$满足什么条件时,分式$\frac{x + 2}{3x - 2}$的值为正数?
答案：15.由题意,得$x+2$与$3x-2$的符号相同,即$\begin{cases}x+2＞0, \\3x-2＞0\end{cases}$ 或$\begin{cases}x+2＜0, \\3x-2＜0,\end{cases}$ 解得$x＞\frac{2}{3}$或$x＜-2$
解析：
要使分式$\frac{x + 2}{3x - 2}$的值为正数，则分子与分母需同号，即：
情况一：$\begin{cases}x + 2 ＞ 0 \\3x - 2 ＞ 0\end{cases}$
解$x + 2 ＞ 0$，得$x ＞ -2$；
解$3x - 2 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{2}{3}$；
所以此情况的解集为$x ＞ \frac{2}{3}$。
情况二：$\begin{cases}x + 2 ＜ 0 \\3x - 2 ＜ 0\end{cases}$
解$x + 2 ＜ 0$，得$x ＜ -2$；
解$3x - 2 ＜ 0$，得$x ＜ \frac{2}{3}$；
所以此情况的解集为$x ＜ -2$。
综上，当$x ＞ \frac{2}{3}$或$x ＜ -2$时，分式的值为正数。
