8. 已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且满足$a^4 - b^4 = a^2c^2 - b^2c^2$，则$\triangle ABC$是(
B
)
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案：8. B
解析：
$a^4 - b^4 = a^2c^2 - b^2c^2$，
$(a^2)^2 - (b^2)^2 = c^2(a^2 - b^2)$，
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = c^2(a^2 - b^2)$，
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$，
$a^2 - b^2 = 0$或$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，
当$a^2 - b^2 = 0$时，$a = b$，$\triangle ABC$是等腰三角形；
当$a^2 + b^2 - c^2 = 0$时，$a^2 + b^2 = c^2$，$\triangle ABC$是直角三角形。
故$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形。
B
9. (1)若$a = b + 2$，则代数式$a^2 - 2ab + b^2$的值为
4
；
(2)已知$a$，$b$满足$ab = 3$，$a - b = 2$，则$a^2b^3 - a^3b^2$的值为
-18
。
答案：9. (1) 4 (2) -18
解析：
(1) 因为$a = b + 2$，所以$a - b = 2$。
$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，将$a - b = 2$代入，得$2^2 = 4$。
(2) $a^2b^3 - a^3b^2 = a^2b^2(b - a)=-(ab)^2(a - b)$。
已知$ab = 3$，$a - b = 2$，代入得$-(3)^2×2=-9×2=-18$。
10. 已知$x = 2y + 3$，$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3 = 18$，则$xy$的值为
2
。
答案：10. 2
解析：
$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3 = xy(x^2 - 4xy + 4y^2) = xy(x - 2y)^2$
已知$x = 2y + 3$，则$x - 2y = 3$
代入得$xy · 3^2 = 18$，即$9xy = 18$
解得$xy = 2$
11. 已知$a$，$b$，$c$是一个三角形的三条边长，则代数式$(a - b)^2 - c^2$的值一定是
负数
(填“正数”“负数”或“0”)。
答案：11. 负数
解析：
$(a - b)^2 - c^2=(a - b + c)(a - b - c)$，
因为$a$，$b$，$c$是三角形的三条边长，
所以$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，
所以$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，
即代数式$(a - b)^2 - c^2$的值一定是负数。
负数
12. 若长和宽分别为$a$，$b$的矩形的周长为14，面积为10，则$a^2b + ab^2$的值为
70
。
答案：12. 70
解析：
由题意得，$2(a + b) = 14$，$ab = 10$，则$a + b = 7$。
$a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 10×7 = 70$。
70
13. (新情境·游戏活动)小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：$a - b$，$x - 1$，$3$，$x^2 + 1$，$a$，$x + 1$分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$因式分解，结果呈现的密码信息可能是(
D
)
A.你爱数学
B.你爱学
C.爱中国
D.中国爱你
答案：13. D
解析：
$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$
$=3(x^2 - 1)(a - b)$
$=3(x - 1)(x + 1)(a - b)$
对应信息：3对应中，$x - 1$对应爱，$x + 1$对应国，$a - b$对应你，组合为中国爱你。
D
14. 规定新运算：$a\triangle b = 3a - 2b$，等式右侧为通常的混合运算，其中$a = x^2 + 2xy$，$b = 3xy + 6y^2$，则把$a\triangle b$因式分解的结果为(
A
)
A.$3(x + 2y)(x - 2y)$
B.$3(x - 2y)^2$
C.$3(x^2 - 4y^2)$
D.$3(x + 4y)(x - 4y)$
答案：14. A
解析：
$a\triangle b = 3a - 2b$，将$a = x^2 + 2xy$，$b = 3xy + 6y^2$代入得：
$\begin{aligned}3(x^2 + 2xy) - 2(3xy + 6y^2)&=3x^2 + 6xy - 6xy - 12y^2\\&=3x^2 - 12y^2\\&=3(x^2 - 4y^2)\\&=3(x + 2y)(x - 2y)\end{aligned}$
A
15. 已知实数$x$，$y$，$z$满足$(x + z)^2 - 4(x - y)(y + z) = 0$，则下列式子一定成立的是(
D
)
A.$x + y - z = 0$
B.$x + y + 2z = 0$
C.$y - z - 2x = 0$
D.$-z + x - 2y = 0$
答案：15. D
解析：
解：设$a = x - y$，$b = y + z$，则$x + z = (x - y) + (y + z) = a + b$。
原方程可化为$(a + b)^2 - 4ab = 0$，
展开得$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = 0$，
即$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，
$(a - b)^2 = 0$，
所以$a = b$。
即$x - y = y + z$，
移项得$x - z - 2y = 0$，即$-z + x - 2y = 0$。
D
16. (新考法·新定义题)对于$a$，$b$，$c$，$d$，规定一种运算：$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$，例如$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{vmatrix} = 1×4 - 2×3 = -2$，则把$\begin{vmatrix}x & -3 \\ 3 & x - 6\end{vmatrix}$因式分解的结果为 ______ 。
答案：16. $(x - 3)^2$
解析：
根据题中规定的运算，$\begin{vmatrix}x & -3 \\ 3 & x - 6\end{vmatrix}=x(x - 6)-(-3)×3$
$=x^2 - 6x + 9$
$=(x - 3)^2$
$(x - 3)^2$
17. (1)若$x$，$y$满足$x = 2y - 2$，$x + 2y = 3$，则代数式$4y^2 - x^2$的值为
6
；
(2)若$m + 2n = 1$，则$3m^2 + 6mn + 6n$的值为
3
。
答案：17. (1) 6 (2) 3
解析：
(1)由题意得：
$\begin{cases}x = 2y - 2 \\x + 2y = 3\end{cases}$
将$x = 2y - 2$代入$x + 2y = 3$，得：
$2y - 2 + 2y = 3$
$4y = 5$
$y=\frac{5}{4}$
则$x=2×\frac{5}{4}-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$
$4y^2 - x^2=(2y)^2 - x^2=(2y - x)(2y + x)$
$2y - x=2×\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$
$2y + x=3$
所以$4y^2 - x^2=2×3=6$
(2)$3m^2 + 6mn + 6n=3m(m + 2n)+6n$
因为$m + 2n = 1$，所以原式$=3m×1 + 6n=3m + 6n=3(m + 2n)=3×1=3$
18. （新考法·探究题）发现：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
验证：$101^2 - 99^2$的结果是8的多少倍？
探究：设$n$为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数。
延伸：任意两个连续偶数的平方差是几的倍数？请说明理由。
答案：18. 验证:$\because 101^2 - 99^2 = (101 + 99) × (101 - 99) = 200 × 2 = 400 = 50 × 8$, $\therefore 101^2 - 99^2$ 的结果是8的50倍 探究:设两个连续奇数为 $2n - 1, 2n + 1$, 则 $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8n$. $\because n$ 为整数, $\therefore$ 两个连续奇数的平方差是8的倍数 延伸:任意两个连续偶数的平方差是4的倍数 理由:设两个连续偶数为 $2n, 2n + 2$ ($n$ 为整数), 则 $(2n + 2)^2 - (2n)^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1)$. $\because n$ 为整数, $\therefore$ 任意两个连续偶数的平方差是4的倍数.
