1. 分解因式：
(1)（2024·枣庄）$x^{2}y + 2xy$；
(2)$15x^{2}y(3 - m)^{3} + 5xy(m - 3)^{2}$。
答案：1.(1) $xy(x + 2)$ (2) $5xy(3 - m)^2(9x - 3mx + 1)$
2. 分解因式：
(1)（2025·绥化）$2mx^{2} - 4mxy + 2my^{2}$；
(2)$x^{4} - 16$；
(3)$(9a^{2} + 1)^{2} - 36a^{2}$；
(4)$(x^{2} - 44)^{2} + 10(44 - x^{2}) + 25$。
答案：2.(1) $2m(x - y)^2$ (2) $(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$ (3) $(3a +1)^2(3a - 1)^2$ (4) $(x + 7)^2(x - 7)^2$
解析：
(1) $2mx^{2} - 4mxy + 2my^{2}$
$=2m(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=2m(x-y)^{2}$
(2) $x^{4} - 16$
$=(x^{2})^{2}-4^{2}$
$=(x^{2}+4)(x^{2}-4)$
$=(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$
(3) $(9a^{2} + 1)^{2} - 36a^{2}$
$=(9a^{2}+1)^{2}-(6a)^{2}$
$=(9a^{2}+1+6a)(9a^{2}+1-6a)$
$=(3a+1)^{2}(3a-1)^{2}$
(4) $(x^{2} - 44)^{2} + 10(44 - x^{2}) + 25$
$=(x^{2}-44)^{2}-10(x^{2}-44)+25$
$=(x^{2}-44-5)^{2}$
$=(x^{2}-49)^{2}$
$=(x+7)^{2}(x-7)^{2}$
3. 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：$x^{2} - xy + 4x - 4y = (x^{2} - xy) + (4x - 4y) = x(x - y) + 4(x - y) = (x - y)(x + 4)$。
乙：$a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc = a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2bc) = a^{2} - (b - c)^{2} = (a + b - c)(a - b + c)$。
请你在他们解法的启发下，分解下面的因式：
(1)$x^{2} + xy - xz - yz$；
(2)$a^{2} + b^{2} - 2ab - ac + bc$。
答案：3.(1) 原式=$(x^2 + xy) - (xz + yz)=x(x + y) - z(x + y)=$
$(x + y)(x - z)$ (2) 原式=$(a^2 - 2ab + b^2) - (ac - bc)=(a -b)^2 - c(a - b)=(a - b)(a - b - c)$
4. （新考法·新定义题）对于形如$x^{2} + 2ax + a^{2}$的二次三项式，可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式。但对于二次三项式$x^{2} + 2ax - 3a^{2}$，就不能直接运用公式了。此时，我们可以在二次三项式$x^{2} + 2ax - 3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2} + 2ax$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，整个式子的值不变，于是有$x^{2} + 2ax - 3a^{2} = (x^{2} + 2ax + a^{2}) - a^{2} - 3a^{2} = (x + a)^{2} - (2a)^{2} = (x + a + 2a)(x + a - 2a) = (x + 3a)(x - a)$。像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”。
利用“配方法”分解因式：
(1)$a^{2} - 6a + 8$；
(2)$x^{4} + 4y^{4}$。
答案：4.(1) 原式=$(a^2 - 6a + 9) - 9 + 8=(a - 3)^2 - 1=(a - 3 + 1)·$
$(a - 3 - 1)=(a - 2)(a - 4)$ (2) 原式=$x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 -4x^2y^2=(x^2 + 2y^2)^2 - 4x^2y^2=(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 -2xy)$
