1. 下列因式分解正确的是(
B
)
A.$ a x^{2}-a=a(x^{2}-1) $
B.$ m^{3}+m=m(m^{2}+1) $
C.$ x^{2}+2 x-3=x(x+2)-3 $
D.$ x^{2}+2 x-3=(x-3)(x+1) $
答案：1.B
2. 多项式 $ 2 b^{3}-4 b^{2}+2 b $ 分解因式的结果为(
A
)
A.$ 2 b(b-1)^{2} $
B.$ 2 b(b+1)^{2} $
C.$ b(2 b-1)^{2} $
D.$ b(2 b+1)^{2} $
答案：2.A
解析：
$2b^{3}-4b^{2}+2b$
$=2b(b^{2}-2b+1)$
$=2b(b-1)^{2}$
A
3. 分解因式：
(1)(2025·北京)$ 7 m^{2}-28= $
7(m+2)(m-2)
；
(2)(2024·兴安盟)$ a+2 a b+a b^{2}= $
$a(b+1)^2$
.
答案：$3.(1)7(m+2)(m-2) (2)a(b+1)^2$
4. 已知 $ x, y $ 互为相反数，且 $ (x+2)^{2}-(y+2)^{2}=4 $，则 $ x-y $ 的值为
1
.
答案：4.1
解析：
因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y=0$。
$(x + 2)^2-(y + 2)^2=4$，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，可得：
$\begin{aligned}[(x + 2)+(y + 2)][(x + 2)-(y + 2)]&=4\\(x + y + 4)(x - y)&=4\end{aligned}$
将$x + y = 0$代入上式：
$(0 + 4)(x - y)=4$
$4(x - y)=4$
$x - y=1$
1
5. （教材变式）把下列各式分解因式：
（1）$ (2 a+b)^{2}-(a+2 b)^{2} $；
（2）$ -a^{3}+2 a^{2}-a $；
（3）$ a^{2}(a-b)-4(a-b) $；
（4）$ (x^{2}+4 y^{2})^{2}-16 x^{2} y^{2} $.
答案：$5.(1)3(a+b)(a-b) (2)-a(a-1)^2 (3)(a-b)(a-2)⋅(a+2) (4)(x+2y)^2(x-2y)^2$
解析：
（1）$(2a+b)^{2}-(a+2b)^{2}$
$=[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)]$
$=(3a+3b)(a-b)$
$=3(a+b)(a-b)$
（2）$-a^{3}+2a^{2}-a$
$=-a(a^{2}-2a+1)$
$=-a(a-1)^{2}$
（3）$a^{2}(a-b)-4(a-b)$
$=(a-b)(a^{2}-4)$
$=(a-b)(a-2)(a+2)$
（4）$(x^{2}+4y^{2})^{2}-16x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+4y^{2})^{2}-(4xy)^{2}$
$=(x^{2}+4y^{2}+4xy)(x^{2}+4y^{2}-4xy)$
$=(x+2y)^{2}(x-2y)^{2}$
6. 对于任意数 $ a, b, a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2}) $ 恒成立，则下列关系式正确的为(
A
)
A.$ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+a b+b^{2}) $
B.$ a^{3}-b^{3}=(a+b)(a^{2}+a b+b^{2}) $
C.$ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}-a b+b^{2}) $
D.$ a^{3}-b^{3}=(a+b)(a^{2}+a b-b^{2}) $
答案：6.A
解析：
已知$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$恒成立，将$b$替换为$-b$，则有：
$a^{3}+(-b)^{3}=(a+(-b))(a^{2}-a(-b)+(-b)^{2})$
化简得：
$a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$
A
7. 设 $ x $ 为有理数，则多项式 $ x^{3}-x^{2}-\frac{1}{4} x^{4} $ 的值(
B
)
A.一定是负数
B.不可能是正数
C.一定是正数
D.可能是正数或负数或 $ 0 $
答案：7.B
解析：
$-\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2$
$=-\frac{1}{4}(x^4 - 4x^3 + 4x^2)$
$=-\frac{1}{4}x^2(x^2 - 4x + 4)$
$=-\frac{1}{4}x^2(x - 2)^2$
$\because x$为有理数，$x^2 \geq 0$，$(x - 2)^2 \geq 0$
$\therefore -\frac{1}{4}x^2(x - 2)^2 \leq 0$
多项式的值不可能是正数，答案选B。
