1. (2024·盐城改编)下列因式分解正确的是(
B
)
A.$ x^{2}-y^{2}=(x-y)^{2} $
B.$ 3a + 3b = 3(a + b) $
C.$ x^{2}+2x + 1=(x - 1)^{2} $
D.$ a^{2}-9a - 9=(a - 3)^{2} $
答案：1. B
2. 如果 $ a^{2}+16 $ 与一个单项式的和可以用完全平方公式分解因式，那么这个单项式可以为(
B
)
A.$ 4a $
B.$ \pm 8a $
C.$ \pm 4a $
D.$ -4a $
答案：2. B
解析：
要使$a^{2}+16$与一个单项式的和能用完全平方公式分解因式，分两种情况：
情况1：当$a^{2}+16$为平方和项时，根据完全平方公式$(m\pm n)^{2}=m^{2}\pm 2mn + n^{2}$，$a^{2}=(a)^{2}$，$16=(4)^{2}$，则中间项为$\pm 2× a×4=\pm 8a$，此时单项式为$\pm 8a$。
情况2：当$a^{2}+16$为平方项与中间项时，不存在这样的单项式使和为完全平方式。
综上，这个单项式可以为$\pm 8a$。
B
3. 分解因式：
(1)(2025·甘肃)$ x^{2}-6x + 9= $
$(x - 3)^2$
；
(2)(2024·常州)$ x^{2}-4xy + 4y^{2}= $
$(x - 2y)^2$
.
答案：$3. (1) (x - 3)^2 (2) (x - 2y)^2$
4. (1)若 $ 100x^{2}+2kxy + 49y^{2} $ 可以分解成 $ (10x - 7y)^{2} $，则常数 $ k $ 的值为
-70
；
(2)已知 $ a = 7 - 3b $，则代数式 $ a^{2}+6ab + 9b^{2} $ 的值为
49
.
答案：4. (1) -70
(2) 49 解析：由 a = 7 - 3b，得 a + 3b = 7.
∴$ a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2 = 7^2 = 49.$
5. （教材变式）把下列各式分解因式：
（1）$ 16x^{2}-72x + 81 $；
（2）$ m^{4}n^{4}+8m^{2}n^{2}+16 $；
（3）$ 20(x + y)+25 + 4(x + y)^{2} $；
（4）$ a^{2}-6a(c - b)+9(b - c)^{2} $.
答案：$5. (1) (4x - 9)^2 (2) (m^2n^2 + 4)^2 (3) (5 + 2x + 2y)^2$
$(4) (a + 3b - 3c)^2$
6. 将 $ (x - 1)^{2}-2(x - 1)+1 $ 分解因式的结果为(
D
)
A.$ (x - 1)(x - 2) $
B.$ x^{2} $
C.$ (x + 1)^{2} $
D.$ (x - 2)^{2} $
答案：6. D
解析：
令$ t = x - 1 $，则原式可化为$ t^{2} - 2t + 1 $。
$ t^{2} - 2t + 1 = (t - 1)^{2} $。
将$ t = x - 1 $代回，得$ (x - 1 - 1)^{2} = (x - 2)^{2} $。
D
7. (易错题)若 $ x^{2}+2(3 - m)x + 25 $ 可以用完全平方公式分解因式，则常数 $ m $ 的值为(
D
)
A.$ \pm 5 $
B.$ -2 $
C.$ 8 $
D.$ -2 $ 或 $ 8 $
答案：7. D [易错分析$] x^2 + 25 $添加关于 x 的一次项“10x”和“-10x”都能凑成完全平方式，因此解 2(3 - m) = ±10 可得 m 的值.
8. 若 $ 2m + n = 3 $，则 $ 4m^{2}+4mn + n^{2}-6 $ 的值为(
C
)
A.$ 12 $
B.$ 6 $
C.$ 3 $
D.$ 0 $
答案：8. C
解析：
$4m^{2}+4mn + n^{2}-6=(2m+n)^{2}-6$，
因为$2m + n = 3$，
所以原式$=3^{2}-6=9 - 6=3$。
C
