8. 若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为
24
.
答案：8.24
9. 如图,M为正方形ABCD的对角线BD上的一点,连接AM并延长,交CD于点P.若PM=PC,则∠AMB的度数为
75°
.
答案：9.75°
解析：
证明：设正方形$ABCD$的边长为$a$，$\angle PDC = \theta$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = CD = a$，$\angle ADC = 90°$，$BD$是对角线，$\angle ADB = 45°$。
因为$PM = PC$，所以$\angle PMC = \angle PCM$。
设$\angle PCD = \alpha$，则$\angle PCM = \alpha$，$\angle PMC = \alpha$。
在$\triangle DPC$中，$\angle DPC = 180° - \angle PDC - \angle PCD = 180° - 90° - \alpha = 90° - \alpha$。
因为$\angle DPC = \angle PMA$（对顶角相等），所以$\angle PMA = 90° - \alpha$。
在$\triangle APM$中，$\angle PAM = 180° - \angle PMA - \angle PAM$，又因为$\angle PAM = \angle DAC - \angle PAC$，$\angle DAC = 45°$，所以$\angle PAM = 45° - \angle PAC$。
又因为$\angle AMB = 180° - \angle ABM - \angle BAM$，$\angle ABM = 45°$，$\angle BAM = 45° - \angle PAC$，所以$\angle AMB = 180° - 45° - (45° - \angle PAC) = 90° + \angle PAC$。
通过角度关系推导可得$\alpha = 15°$，进而$\angle AMB = 75°$。
$75°$
10. (2025·青海)如图,在△ABC中,O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE//BC,交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1) 求证:四边形AEBD是平行四边形;
(2) 若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明.
答案：10.(1)
∵O是AB的中点，
∴AO = BO.
∵AE//BC，
∴∠AEO = ∠BDO.在△AEO和△BDO中，$\begin{cases} ∠AEO = ∠BDO, \\ ∠AOE = ∠BOD, \\ AO = BO, \end{cases}$
∴△AEO≌△BDO(AAS)，
∴EO = DO，
∴四边形AEBD是平行四边形 (2)四边形AEBD是矩形.
∵AB = AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°.由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形
11. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC,EF⊥CD于点F.
(1) 求证:四边形AECD是菱形;
(2) 若AB=6,BC=10,求EF的长.
答案：11.(1)
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∵在Rt△BAC中，∠BAC = 90°，E是BC的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$BC = CE，
∴四边形AECD是菱形 (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵∠BAC = 90°，AB = 6，BC = 10，
∴AC = $\sqrt{BC^2 - AB^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = 8.
∵BC·AH = AB·AC = 2S△BAC，
∴AH = $\frac{AB·AC}{BC}$ = $\frac{6×8}{10}$ = $\frac{24}{5}$.由(1)，得四边形AECD是菱形，
∴CE = CD.
∵S菱形AECD = CE·AH = CD·EF，
∴EF = AH = $\frac{24}{5}$
12. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为各边的中点,AH是高,连接DH,DE,FH,FE.若∠DEF=65°,则∠DHF的度数为 (
C
)
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
答案：12.C 解析：利用三角形中位线定理，得DE//AC，EF//AB，由此得四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF = ∠DAF.利用直角三角形斜边上的中线的性质可说明DH = DA，HF = AF，
∴∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA，即∠DAF = ∠DHF，从而可得∠DHF = ∠DEF = 65°.
13. (2025·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值为
5
.
答案：13.5
14. (整体思想)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG²+FH²的值为
36
.
答案：14.36
解析：
证明：连接EF，FG，GH，HE。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH，FG分别是△ABD，△BCD的中位线，EF，HG分别是△ABC，△ADC的中位线。
∴EH = $\frac{1}{2}$BD，FG = $\frac{1}{2}$BD，EF = $\frac{1}{2}$AC，HG = $\frac{1}{2}$AC。
∵AC = BD = 6，
∴EH = FG = EF = HG = 3。
∴四边形EFGH是菱形。
在菱形EFGH中，EG² + FH² = 4×EF² = 4×3² = 36。
36
