证明：连接BD，
∵菱形ABCD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，AD=AB=CD，AB//CD，∠ADC=120°，
∵P为AB中点，
∴DP平分∠ADB，∠ADP=30°，
由折叠得：∠CDE=∠PDE，CD=C'D，
设∠CDE=∠PDE=x，则∠ADC=∠ADP+2x=30°+2x=120°，
解得x=45°，即∠CDE=45°，
在△CDE中，∠C=60°，
∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-45°=75°.
7.C

解：
∵菱形 $ABCD$ 对角线长分别为 6 和 8，$O$ 为对角线交点，
∴ $AC=8$，$BD=6$，$OB=OD=3$，$OA=OC=4$，且 $AC ⊥ BD$。
由折叠性质，$OM=ON$，$BM=B'M=1.5$，$CN=C'N$。
设 $CN=x$，则 $BN=BC - CN$。
在 $Rt\triangle BOC$ 中，$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，故 $BN=5 - x$。
∵ $BM + MN + NC = BC$，且 $MN=OM + ON=2OM$（折叠对称），
又 $OM=BN - BM=(5 - x) - 1.5=3.5 - x$，
由折叠后 $OM=ON$，且 $MN=OM + ON=2(3.5 - x)$，
而 $BM + MN + NC=1.5 + 2(3.5 - x) + x=5$，
解得 $x=3.5$。
答案：3.5

解：①
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°。由折叠得：AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∠BAE=∠FAE，
∴AF=AD，∠AFG=∠D=90°。在Rt△AFG和Rt△ADG中，
∵AF=AD，AG=AG，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴∠FAG=∠DAG，
∴∠EAG=∠FAE+∠FAG=1/2∠BAD=45°，①正确。
②设DG=FG=x，
∵BE=4，EC=8，
∴BC=12，
∴CG=12-x，EG=4+x。在Rt△ECG中，EC²+CG²=EG²，即8²+(12-x)²=(4+x)²，解得x=6，
∴DG=6，CG=6，FG=6，EG=10。CF=√[(8-6)²+6²]=√40=2√10≠6，②错误。
③
∵Rt△AFG≌Rt△ADG，
∴∠AGD=∠AGF。
∵FG=CG=6，
∴∠GFC=∠GCF。
∵∠AGF+∠CGF=180°，∠GFC+∠GCF+∠CGF=180°，
∴∠AGF=∠GFC+∠GCF=2∠GFC，
∴∠AGD=2∠GFC。又
∵∠AGD=∠GCF+∠GFC=2∠GFC，
∴∠AGD=∠GCF+∠GFC，
∴∠AGF=∠GCF，
∴FC//AG，③正确。
④S△EGC=1/2×8×6=24。
∵FG=6，EG=10，
∴S△GFC=6/10×S△EGC=6/10×24=14.4，④正确。
综上，正确的是①③④。

解：设正方形边长为$a$，则点$A(-a+1,0)$，$D(-a+1,a)$，$C(1,a)$。
设点$E(m,a)$，由折叠性质得$AF=AD=a$，$EF=ED$。
$\because F(0,3)$，$\therefore AF^2=(0 - (-a + 1))^2 + (3 - 0)^2 = (a - 1)^2 + 9 = a^2$，
解得$a = 5$，$\therefore A(-4,0)$，$D(-4,5)$，$C(1,5)$，$E(m,5)$。
$ED = -4 - m$，$EF^2 = (m - 0)^2 + (5 - 3)^2 = m^2 + 4$，
$\because ED = EF$，$\therefore (-4 - m)^2 = m^2 + 4$，解得$m = -\frac{3}{2}$。
$\therefore E(-\frac{3}{2},5)$。
$(-\frac{3}{2},5)$