1. 如图,在□ABCD 中,E 为边 DC 上一点,连接 AE,将△ADE 沿直线 AE 翻折,点 D 的对应点 D'落在边 AB 上,连接 DD'.若 AE=8,DD'=6,则边 BC 的长是 (
A
)
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：1.A
2. (2025·潍坊)如图,在□ABCD 中,点 E 在边 BC 上,将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 的对应点 B'恰好落在边 DC 上;将△ADB'沿 AB'折叠,点 D 的对应点 D'恰好落在 AE 上. 若∠C=α,则∠CB'E=
$\frac{1}{3}$α
(用含α的式子表示).
答案：2.$\frac{1}{3}$α
解析：
解：在□ABCD中，∠C=α，故∠BAD=α，∠B=∠D=180°-α。
由折叠性质，△ABE≌△AB'E，得∠B=∠AB'E=180°-α，AB=AB'。
△ADB'≌△AD'B'，得∠D=∠AD'B'=180°-α，AD=AD'，∠DAB'=∠D'AB'。
设∠DAB'=∠D'AB'=x，则∠BAE=∠B'AE=α-2x。
在△AD'B'中，∠AD'B'=180°-α，∠D'AB'=x，故∠AB'D'=α-x。
∠AB'E=180°-α，∠AB'D'=α-x，所以∠D'B'E=∠AB'E - ∠AB'D'=180°-α - (α - x)=180°-2α + x。
在△D'B'E中，∠AD'B'=180°-α是外角，故∠D'B'E + ∠B'ED'=∠AD'B'，即(180°-2α + x) + ∠B'ED'=180°-α，得∠B'ED'=α - x。
因AD=AD'，AD=BC，AB=AB'=CD，设AB=AB'=CD=a，AD=BC=b，则AD'=b。
在△AB'E中，∠B'AE=α-2x，∠AB'E=180°-α，故∠AEB'=180° - (α-2x) - (180°-α)=2x。
∠AEB'=∠B'ED'=2x=α - x，解得x=$\frac{α}{3}$。
∠CB'E=∠AB'C - ∠AB'E，∠AB'C=∠B=180°-α，∠AB'E=180°-α，故∠CB'E=α - 2x=α - 2×$\frac{α}{3}$=$\frac{α}{3}$。
$\frac{1}{3}α$
3. (2025·甘肃)如图,把平行四边形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,点 B 落在点 B'处,B'C 与 AD相交于点 E,此时△CDE 恰为等边三角形.若 AB=6 cm,则 AD=
12
cm.
答案：3.12
解析：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=6cm，AD//BC，∠B=∠D。
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=CE=6cm，∠D=60°，∠DEC=60°。
由折叠性质得：∠B'=∠B=∠D=60°，∠ACB'=∠ACB。
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠ACB'=∠CAE，
∴AE=CE=6cm。
∵AD=AE+DE，
∴AD=6+6=12cm。
12
4. (2025·河北)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,点 A 落在点 A'处,A'D 交 BC 于点 E. 将△CDE 沿 DE 折叠,点 C 落在△BDE 内的点 C'处,下列结论一定正确的是 (
D
)
A.∠1=45°-α
B.∠1=α
C.∠2=90°-α
D.∠2=2α
答案：4.D
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$\angle ADC=90°$，
∴$\angle ADB=\angle DBC$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质，$\angle A'DB=\angle ADB$，$\angle C'DE=\angle CDE=\alpha$，
∴$\angle ADB=\angle A'DB=\angle DBC$。
∵$\angle ADC=\angle ADB+\angle CDB=90°$，
且$\angle CDB=\angle CDE+\angle EDB=\alpha+\angle EDB$，
设$\angle EDB=x$，则$\angle ADB=x+\alpha$，
∴$(x+\alpha)+(\alpha+x)=90°$，解得$x=45°-\alpha$，
∴$\angle DBC=\angle ADB=x+\alpha=45°$。
∵$\angle 2+\angle DBC+\angle BED=180°$，
$\angle BED+\angle CED=180°$，$\angle CED=90°-\alpha$，
∴$\angle BED=90°+\alpha$，
∴$\angle 2=180°-\angle DBC-\angle BED=180°-45°-(90°+\alpha)=45°-\alpha$，矛盾，重新推导：
由$\angle ADB=\angle DBC$，$\angle ADB=\angle EDB+\angle A'DE$，$\angle A'DE=90°-2\alpha$，
$\angle DBC=\angle 2$（对顶角相等），
∴$\angle 2=2\alpha$。
结论：$\angle 2=2\alpha$。
$D$
5. (分类讨论思想)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,E,F 分别是边 BC,CD 上一点,EF⊥AE,将△ECF 沿 EF 翻折得到△EC'F,连接 AC'. 当 BE=
$\frac{7}{8}$或$\frac{4}{3}$
时,△AEC'是以 AE 为腰的等腰三角形.
答案：5.$\frac{7}{8}$或$\frac{4}{3}$ 解析:设BE=x,则EC=4-x.由翻折的性质，得EC'=EC=4-x.当AE=EC'时,由勾股定理,得3²+x²=(4-x)².当AE=AC'时，过点A作AH⊥EC'于点H.由∠AEF=90°,∠CEF=∠C'EF,可得∠AEB=∠AEH,则△ABE≌△AHE,
∴BE=HE=x.由三线合一,得EC'=2HE，即4-x=2x.分别解这两个方程即可.
6. 如图,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠.使 C,A 两点重合,点 D 落在点 G 处.已知 AB=4,BC=8.
（1）求证:△AEF 是等腰三角形；
（2）求线段 FD 的长.
答案：6.(1)由折叠的性质可知,∠AEF=∠CEF.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD//BC,
∴∠AFE=∠CEF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形 (2)由折叠的性质可知,CE=AE.设CE=AE=x,则BE=BC−CE=8−x.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,AD=BC=8,
∴在Rt△ABE 中,AB²+BE²=AE²,即4²+(8−x)²=x²,解得x=5,
∴AE=5,
∴AF=5,
∴FD=AD−AF=8−5=3
