7. (分类讨论思想)在矩形$ABCD$中，$AD = 5$，$AB = 4$，点$E$，$F$在直线$AD$上，且四边形$BCFE$为菱形.若线段$EF$的中点为$M$，则线段$AM$的长为
$\frac{11}{2}$或$\frac{1}{2}$
.
答案：7.$\frac{11}{2}$或$\frac{1}{2}$
8. （2024·宿迁）如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD = DC = \frac{1}{2}BC$，$E$是$BC$的中点.甲认为若连接$AE$，则四边形$ADCE$是菱形；乙认为若连接$AC$，则$\triangle ABC$是直角三角形.请选择一名同学的想法给予证明.
答案：8.选择不唯一，如选择甲 如图，连接AE.
∵E是BC的中点，
∴CE = BE = $\frac{1}{2}$BC.
∵AD = $\frac{1}{2}$BC，
∴AD = CE.
∵AD//BC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AD = DC，
∴四边形ADCE是菱形.
9. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，$CE$，$DF$交于点$G$，连接$AG$.有下列结论：①$CE = DF$；②$CE⊥ DF$；③$\angle AGE = \angle CDF$.其中，正确的是(
D
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：9.D
10. 如图，菱形$ABCD$的面积为$120\mathrm{cm}^2$，正方形$AECF$的面积为$50\mathrm{cm}^2$，则菱形的边长为
13
$\mathrm{cm}$.
答案：10.13
解析：
证明：连接AC，EF交于点O。
∵四边形AECF是正方形，面积为50cm²，
∴AC⊥EF，且AC=EF，OA=OC=OE=OF。
设OA=OE=x，则正方形面积为$2x · 2x ÷ 2 = 2x^2 = 50$，
解得$x = 5$（负值舍去），故AC=2x=10cm。
∵菱形ABCD的面积为120cm²，菱形面积=对角线乘积的一半，
设BD=2y，则$\frac{1}{2} × AC × BD = 120$，即$\frac{1}{2} × 10 × 2y = 120$，
解得y=12，故BD=24cm。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴菱形边长=$\sqrt{(\frac{AC}{2})^2 + (\frac{BD}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$cm。
13
11. （新考法·探究题）如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$是边长为$4$的正方形，$P$为边$OA$上任意一点（不与点$O$，$A$重合），连接$CP$，过点$P$作$PM⊥ CP$交$AB$于点$D$，且$PM = CP$，过点$M$作$MN// OA$，交$BO$于点$N$，连接$ND$，$BM$，设$OP = t$.
（1）求点$M$的坐标（用含$t$的代数式表示）；
（2）试判断线段$MN$的长度是否随点$P$的位置的变化而改变，并说明理由.
答案：11.(1)如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则∠PEM = 90°.
∴∠1 + ∠2 = 90°.
∵PM⊥CP，
∴∠CPM = 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°，
∴∠2 = ∠3.
∵四边形OABC是边长为4的正方形，
∴OC = 4，∠COP = 90°，
∴∠PEM = ∠COP.又
∵PM = CP，
∴△MPE≌△PCO，
∴EM = OP = t，EP = OC = 4，
∴OE = t + 4，
∴点M的坐标为(t + 4，t).
(2)线段MN的长度不发生改变 理由：如图，连接AM，设MN交AB于点F.
∵四边形OABC是边长为4的正方形，
∴∠BAO = 90°，OA = OC = AB = 4，即AB⊥x轴，
∴∠BOA = 45°.
∵ME⊥x轴，
∴ME//AB.
∵MN//OA，
∴四边形AEMF为平行四边形.又
∵∠MEA = 90°，
∴四边形AEMF是矩形.由(1)，得OP = EM，OC = EP，
∴OA = EP，
∴OA - PA = EP - PA，即OP = AE，
∴EM = AE，
∴矩形AEMF是正方形，∠MAE = 45°，
∴∠MAE = ∠BOA，
∴AM//OB.又
∵MN//OA，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN = OA = 4，即线段MN的长度不发生改变.
