1. 在$□ ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，当$□ ABCD$的面积最大时，给出下列结论：①$AC = 5$；②$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$；③$AC⊥ BD$；④$AC = BD$.其中，正确的有(
B
)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案：1.B
解析：
在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$。平行四边形面积为$底×高$，当高最大时面积最大，此时平行四边形为矩形。
①矩形中，$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，正确；
②平行四边形中$\angle A=\angle C$，且$\angle A+\angle B=180°$，矩形中$\angle B=90°$，则$\angle A=90°$，故$\angle A+\angle C=180°$，正确；
③矩形对角线相等但不一定垂直，错误；
④矩形对角线相等，即$AC=BD$，正确。
正确的有①②④，答案选B。
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，$P$为边$BC$上一动点，过点$P$分别作$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ AC$于点$F$，连接$EF$，则$EF$长的最小值为(
C
)
A.2
B.2.2
C.2.4
D.2.5
答案：2.C
解析：
证明：
∵在$\triangle ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，
$\therefore AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = BC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90°$。
连接$AP$，
∵$PE ⊥ AB$，$PF ⊥ AC$，
$\therefore$四边形$AEPF$是矩形，
$\therefore EF = AP$。
当$AP ⊥ BC$时，$AP$最小，此时$EF$最小。
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AP$，
$\therefore AP = \frac{AB · AC}{BC} = \frac{3 × 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$。
$\therefore EF$长的最小值为$2.4$。
答案：C
3. (新情境·现实生活)如图所示为一民居侧面截图，屋坡$AF$，$AG$分别架在墙体的点$B$，$C$处，且$AB = AC$，侧面四边形$BDEC$为矩形.若测得$\angle FBD = 55^{\circ}$，则$\angle A =$
110°
.
答案：3.110°
解析：
解：因为四边形$BDEC$为矩形，所以$BD// CE$，$\angle DBC = 90^{\circ}$。
因为$\angle FBD = 55^{\circ}$，且$\angle FBD + \angle ABD = 180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle ABD = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$。
又因为$\angle ABD = \angle ABC + \angle DBC$，$\angle DBC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC = \angle ABD - \angle DBC = 125^{\circ} - 90^{\circ} = 35^{\circ}$。
因为$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC = \angle ACB = 35^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle A = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 35^{\circ} = 110^{\circ}$。
$110^{\circ}$
4. （2025·北京）如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，$DF⊥ BC$，垂足为$F$，点$G$在$DE$的延长线上，$DG = FC$.
（1）求证：四边形$DFCG$是矩形；
（2）若$\angle B = 45^{\circ}$，$DF = 3$，$DG = 5$，求$BC$和$AC$的长.
答案：4.(1)
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC.
∵DG = FC，
∴四边形DFCG是平行四边形.
∵DF⊥BC，
∴∠DFC = 90°，
∴四边形DFCG是矩形.
(2)
∵DF⊥BC，
∴∠DFB = 90°.
∵∠B = 45°，
∴∠BDF = 90° - ∠B = 45°，
∴∠B = ∠BDF，
∴BF = DF = 3.
∵DG = FC = 5，
∴BC = BF + FC = 3 + 5 = 8.由(1)可知，DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴EG = DG - DE = 5 - 4 = 1.
∵四边形DFCG是矩形，
∴CG = DF = 3，∠G = 90°，
∴CE = $\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
∵E为AC的中点，
∴AC = 2CE = 2$\sqrt{10}$.
5. 如图，点$E$在菱形$ABCD$的边$AB$上，点$F$在边$BC$的延长线上，连接$CE$，$DF$，给出下列条件：①$BE = CF$；②$CE⊥ AB$，$DF⊥ BC$；③$CE = DF$；④$\angle BCE = \angle CDF$.只选取其中一个添加，不能确定$\triangle BCE\cong\triangle CDF$的是(
C
)
A.①
B.②
C.③
D.④
答案：5.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$BC = CD$，$AB// CD$，$\angle B=\angle DCF$。
选项A（①$BE = CF$）：
在$\triangle BCE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} BE = CF \\\angle B=\angle DCF \\BC = CD \end{cases}$，
∴$\triangle BCE\cong\triangle CDF(\mathrm{SAS})$。
选项B（②$CE⊥ AB$，$DF⊥ BC$）：
∵$CE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
∴$\angle CEB=\angle DFC = 90°$。
在$\triangle BCE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} \angle CEB=\angle DFC \\\angle B=\angle DCF \\BC = CD \end{cases}$，
∴$\triangle BCE\cong\triangle CDF(\mathrm{AAS})$。
选项C（③$CE = DF$）：
仅$CE = DF$，$BC = CD$，$\angle B=\angle DCF$，无法判定全等（SSA不成立）。
选项D（④$\angle BCE=\angle CDF$）：
在$\triangle BCE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} \angle BCE=\angle CDF \\BC = CD \\\angle B=\angle DCF \end{cases}$，
∴$\triangle BCE\cong\triangle CDF(\mathrm{ASA})$。
综上，不能确定全等的是选项C。
答案：C
6. (2025·兰州改编)如图，在菱形$ABCD$中，$AE⊥ BC$，垂足为$E$，交$BD$于点$F$，$BE = CE$.若$EF = 2$，则$AF$的长为
4
.
答案：6.4
解析：
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=DO，AB=BC。
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠BAE=30°。
设BE=x，则AB=2x，AE=√3 x。
∵AD//BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴AF/EF=AD/BE=2x/x=2。
∵EF=2，
∴AF=2EF=4。
4
