1. 下列图形中，一定是轴对称图形的为(
C
)
A.三角形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
答案：1.C
2. (2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图所示为某个构件的截面图，其中 $ AD // BC $，$ \angle ABC = 70^{\circ} $，则 $ \angle BAD $ 的度数为(
C
)
A.$ 70^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 110^{\circ} $
D.$ 130^{\circ} $
答案：2.C
解析：
解：因为 $AD // BC$，所以$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle ABC = 70^{\circ}$，则$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$。
答案：C
3. 如图，在梯形 $ OBCD $ 中，$ BC // OD $，$ OB = BC = CD = \frac{1}{2}OD $，将梯形 $ OBCD $ 放置于平面直角坐标系中，$ O $ 为原点，点 $ D $ 的坐标为 $ (4,0) $，则点 $ C $ 的坐标是(
B
)
A.$ (3,2) $
B.$ (3,\sqrt{3}) $
C.$ (\sqrt{3},2) $
D.$ (2,3) $
答案：3.B
解析：
解：
∵点$D$的坐标为$(4,0)$，$O$为原点，
∴$OD=4$。
∵$OB = BC = CD=\frac{1}{2}OD$，
∴$OB = BC = CD=2$。
过点$B$作$BE⊥ OD$于点$E$，过点$C$作$CF⊥ OD$于点$F$，则$BE=CF$，$EF=BC=2$。
设$OE=x$，则$ED=OD - OE=4 - x$，$FD=ED - EF=4 - x - 2=2 - x$。
在$Rt\triangle OBE$中，$BE^{2}=OB^{2}-OE^{2}=2^{2}-x^{2}=4 - x^{2}$。
在$Rt\triangle CDF$中，$CF^{2}=CD^{2}-FD^{2}=2^{2}-(2 - x)^{2}=4-(4 - 4x + x^{2})=4x - x^{2}$。
∵$BE=CF$，
∴$4 - x^{2}=4x - x^{2}$，解得$x=1$。
∴$OE=1$，$BE^{2}=4 - 1^{2}=3$，$BE=\sqrt{3}$。
∴点$B$的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
∵$BC// OD$，$BC=2$，
∴点$C$的横坐标为$1 + 2=3$，纵坐标为$\sqrt{3}$，即点$C$的坐标是$(3,\sqrt{3})$。
B
4. 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ \angle ABD = 15^{\circ} $，$ \angle C = 60^{\circ} $，则 $ \angle BDC $ 的度数为
45
$ ^{\circ} $.
答案：4.45
解析：
解：设 $AD = 1$，在 $Rt\triangle ABD$ 中，$\angle A = 90°$，$\angle ABD = 15°$，则 $\angle ADB = 75°$。
$\tan 15° = \frac{AD}{AB} = 2 - \sqrt{3}$，故 $AB = \frac{AD}{\tan 15°} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$。
$BD = \frac{AD}{\sin 15°} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$。
过 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 于 $E$，则 $DE = AB = 2 + \sqrt{3}$，$BE = AD = 1$。
在 $Rt\triangle DEC$ 中，$\angle C = 60°$，$\tan 60° = \frac{DE}{EC} = \sqrt{3}$，故 $EC = \frac{DE}{\sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{3}$。
$BC = BE + EC = 1 + \frac{2\sqrt{3} + 3}{3} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}$。
在 $\triangle BDC$ 中，由正弦定理：$\frac{BC}{\sin \angle BDC} = \frac{BD}{\sin 60°}$。
$\sin \angle BDC = \frac{BC · \sin 60°}{BD} = \frac{\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} · \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(6 + 2\sqrt{3})\sqrt{3}}{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{3} + 6}{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\angle BDC$ 为锐角，故 $\angle BDC = 45°$。
45
5. 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，连接 $ AC $，$ BD $.如果梯形 $ ABCD $ 的面积为 17，$ \triangle BDC $ 的面积为 12，那么 $ \triangle ADC $ 的面积为
5
.
答案：5.5
解析：
解：因为梯形 $ABCD$ 的面积为 $17$，$\triangle BDC$ 的面积为 $12$，且梯形 $ABCD$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 的面积与 $\triangle ADC$ 的面积之和，$\triangle ABC$ 的面积与 $\triangle BDC$ 的面积相等（同底 $BC$，等高），所以 $\triangle ADC$ 的面积为 $17 - 12 = 5$。
$5$
6. 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ E $，$ F $ 两点在边 $ BC $ 上，$ AB // DE $，$ AF // DC $，且四边形 $ AEFD $ 是平行四边形.
（1）请指出 $ AD $ 与 $ BC $ 间的数量关系，并说明理由；
（2）当 $ AB = DC $ 时，求证：$ □ AEFD $ 是矩形.
答案：6.(1)$AD = \frac {1}{3}BC$理由：$\because AD // BC,AB // DE,AF // DC$，
$\therefore$四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，$\therefore AD = BE,AD = FC.\because$四边形AEFD是平行四边形，$\therefore AD = EF$，
$\therefore AD = BE = EF = FC,\therefore AD = \frac {1}{3}BC$。(2)由(1)知，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，$\therefore DE = AB,AF = DC.\because AB = DC,\therefore DE = AF.\because$四边形AEFD是平行四边形，$\therefore □ AEFD$是矩形
7. (2024·上海)已知四边形 $ ABCD $ 为矩形，过点 $ A $，$ C $ 作对角线 $ BD $ 的垂线，过点 $ B $，$ D $ 作对角线 $ AC $ 的垂线.如果四条垂线段首尾相连拼成一个四边形，那么这个四边形为(
A
)
A.菱形
B.矩形
C.直角梯形
D.等腰梯形
答案：7.A
