8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$P$ 是对角线 $BD$ 的中点，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点，$AD = BC$，$\angle PEF = 18^{\circ}$，则 $\angle PFE$ 的度数为
18°
.
答案：8. 18°
解析：
证明：
∵P是BD中点，E是AB中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE = $\frac{1}{2}$AD。
同理，PF是△BCD的中位线，
∴PF = $\frac{1}{2}$BC。
∵AD = BC，
∴PE = PF，
∴△PEF是等腰三角形，
∴∠PFE = ∠PEF = 18°。
18°
9. (2025·广州)如图，菱形 $ABCD$ 的面积为 10，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，则四边形 $EFGH$ 的面积为
5
.
答案：9. 5
解析：
证明：连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线，
∴EH//BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG//BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
同理，EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形。
∵菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$AC·BD=10，
∴AC·BD=20。
矩形EFGH的面积=EF·EH=$\frac{1}{2}$AC·$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$AC·BD=$\frac{1}{4}$×20=5。
故四边形EFGH的面积为5。
10. (整体思想)如图，$\triangle ABC$ 的周长为 19，点 $D$，$E$ 在边 $BC$ 上，$\angle ABC$ 的平分线垂直于 $AE$，垂足为 $N$，$\angle ACB$ 的平分线垂直于 $AD$，垂足为 $M$. 若 $BC = 7$，则 $MN$ 的长为
$\frac{5}{2}$
.
答案：$10. \frac{5}{2}$
解析：
证明：
∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AN=EN，AB=BE。
同理，CM平分∠ACB，CM⊥AD，
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AM=DM，AC=CD。
∵△ABC周长为19，BC=7，
∴AB+AC=19-7=12，
∴BE+CD=AB+AC=12，
∵DE=BE+CD-BC=12-7=5。
∵AN=EN，AM=DM，
∴MN是△ADE的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
11. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$E$ 为 $BC$ 上一点，$CE = 7$，$F$ 为 $DE$ 的中点. 若 $\triangle CEF$ 的周长为 32，求 $OF$ 的长.
答案：11.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BCD = 90°，BC = DC，
BO = DO.
∵ 在 Rt△DCE 中，F 为 DE 的中点，
∴ CF = EF =
$DF = \frac{1}{2}DE. $
∵ CE = 7，△CEF 的周长为 32，
∴ DE = 25，
∴ 在
Rt△DCE 中，$DC = √{DE^{2} - CE^{2}} = √{25^{2} - 7^{2}} = 24，$
∴ BE =
BC - CE = DC - CE = 24 - 7 = 17.
∵ BO = DO，F 为 DE 的中
点，
∴ OF 是△DBE 的中位线，
∴$ OF = \frac{1}{2}BE = \frac{17}{2}$
12. (2024·新疆)如图，$\triangle ABC$ 的中线 $BD$，$CE$ 相交于点 $O$，$F$，$G$ 分别是 $OB$，$OC$ 的中点，连接 $DE$，$EF$，$FG$，$GD$.
(1) 求证：四边形 $DEFG$ 是平行四边形；
(2) 若 $BD = CE$，求证：四边形 $DEFG$ 是矩形.
]
答案：12. (1)
∵ BD，CE 是△ABC 的中线，
∴ D，E 分别是 AC，AB
的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线，
∴$ DE// BC,DE = \frac{1}{2}BC.$
同理，可得$ FG// BC,FG = \frac{1}{2}BC. $
∴ DE// FG,DE = FG，
∴ 四
边形 DEFG 是平行四边形 (2) 由(1)知，四边形 DEFG is a parallelogram,
∴ OF = OD. 又
∵ F 是 OB 的中点，
∴ BF = OF，
∴$ DF = \frac{2}{3}BD. $同理，可得$ EG = \frac{2}{3}CE. $
∵ BD = CE，
∴ DF =
EG.
∵ 四边形 DEFG 是平行四边形，
∴ 四边形 DEFG 是矩形
