1. (2025·徐州改编)顺次连接矩形 $ABCD$ 各边的中点，所得四边形必定是(
D
)
A.邻边不等的平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
答案：1. D
解析：
连接矩形$ABCD$各边中点$E,F,G,H$。
在$\triangle ABC$中，$E,F$为中点，$EF=\frac{1}{2}AC$且$EF// AC$；
在$\triangle ADC$中，$G,H$为中点，$GH=\frac{1}{2}AC$且$GH// AC$；
同理，$EH=\frac{1}{2}BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$。
矩形对角线$AC=BD$，故$EF=FG=GH=HE$。
四边形$EFGH$四边相等，为菱形。
D
2. (教材变式)如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BF$ 是边 $AC$ 上的中线，$DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线. 若 $DE = 6$，则 $BF$ 的长为(
A
)
A.6
B.4
C.3
D.5
答案：2. A
解析：
证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC$（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
$\because DE = 6$，
$\therefore AC=2DE=2×6=12$。
$\because BF$是边$AC$上的中线，
$\therefore BF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
A
3. (2024·浙江)如图，$D$，$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 的中点，连接 $BE$，$DE$. 若 $\angle AED = \angle BEC$，$DE = 2$，则 $BE$ 的长为
4
.
答案：3. 4
解析：
证明：
∵ $D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，
∴ $DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
∴ $DE // BC$，$BC = 2DE = 4$，
∴ $\angle AED = \angle C$，
∵ $\angle AED = \angle BEC$，
∴ $\angle C = \angle BEC$，
∴ $BE = BC = 4$。
4
4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $CD$ 的中点，连接 $OE$. 若 $\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，则 $\angle 1$ 的度数为
40°
.
答案：4. 40°
解析：
证明：在$□ABCD$中，
$\because ∠ABC=60^{\circ}$，$∠BAC=80^{\circ}$，
$\therefore ∠ACB=180^{\circ}-∠ABC - ∠BAC=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，即点$O$是$AC$的中点。
$\because E$是边$CD$的中点，
$\therefore OE$是$\triangle ACD$的中位线，
$\therefore OE// AD$。
$\because AD// BC$，
$\therefore OE// BC$，
$\therefore ∠1=∠ACB=40^{\circ}$。
$40^{\circ}$
5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，点 $H$ 在线段 $CE$ 上，连接 $BH$，$G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点.
(1) 求证：四边形 $DEFG$ 为平行四边形；
(2) 若 $DG ⊥ BH$，$BD = 3$，$EF = 2$，求 $BG$ 的长.
]
答案：5. (1)
∵ D，E 分别为 AB，AC 的中点，G，F 分别为 BH，CH 的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线，GF 是△HBC 的中位线，
∴$ DE// BC,DE = \frac{1}{2}BC,GF// BC,GF = \frac{1}{2}BC,$
∴ DE// GF，
DE = GF,
∴ 四边形 DEFG 为平行四边形 (2) 由(1)知，四边形 DEFG 为平行四边形，
∴ DG = EF = 2.
∵ DG ⊥ BH，
∴ ∠DGB = 90°，
∴ 在 Rt△BGD 中，$BG = √{BD^{2} - DG^{2}} =$
$√{3^{2} - 2^{2}} = √{5}$
6. (2024·山西)在四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，$EG$，$FH$ 交于点 $O$. 若四边形 $ABCD$ 的对角线相等，则线段 $EG$ 与 $FH$ 一定满足的关系为(
A
)
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
答案：6. A
解析：
连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ADC的中位线，
∴EH$//$BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG$//$BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，EF$//$AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，HG$//$AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EH$//$FG，EH=FG，EF$//$HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵四边形ABCD的对角线相等，即AC=BD，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴EG与FH互相垂直平分。
A
7. (2025·广元)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 8$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$P$ 是 $AB$ 的中点，连接 $DP$，$E$ 是 $DP$ 的中点，连接 $OE$，则 $OE$ 的长是(
C
)
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4
答案：7. C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$是$BD$的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵$E$是$DP$的中点，
∴$OE$是$\triangle DPB$的中位线（三角形中位线定义）。
∴$OE=\frac{1}{2}BP$（三角形中位线定理）。
∵$P$是$AB$的中点，$AB=8$，
∴$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∴$OE=\frac{1}{2}×4=2$。
答案：C
