证明：过点$F$作$FH ⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$H$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = CD$，$\angle D = 90^{\circ}$。
将$AE$绕点$E$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$FE$，则$AE = FE$，$\angle AEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AED + \angle FEH = 90^{\circ}$。
又因为$\angle DAE + \angle AED = 90^{\circ}$，所以$\angle DAE = \angle FEH$。
在$\triangle ADE$和$\triangle EHF$中，$\begin{cases} \angle D = \angle H = 90^{\circ} \\ \angle DAE = \angle FEH \\ AE = FE \end{cases}$，所以$\triangle ADE \cong \triangle EHF(AAS)$。
所以$AD = EH$，$DE = FH$。
因为$AD = CD$，所以$CD = EH$，即$CE + DE = DE + DH$，所以$CE = DH$，则$FH = CE$。
所以$\triangle FCH$是等腰直角三角形，$\angle FCH = 45^{\circ}$。
因为$AB // CD$，所以$\angle G = \angle FCH = 45^{\circ}$。
答案：B

证明：连接 $ BF $，延长 $ FO $ 交 $ AB $ 于点 $ G $。
在正方形 $ ABCD $ 中，$ AB = BC = 1 $，$ \angle ABC = 90° $，$ AC = \sqrt{2} $，$ O $ 为 $ AC $ 中点，故 $ AO = OC = \frac{\sqrt{2}}{2} $。
因为 $ BE = BA = 1 $，所以 $ BE = BC $，$ \angle BEC = \angle BCE $。
设 $ \angle ABE = 2\alpha $，则 $ BF $ 平分 $ \angle ABE $，$ \angle ABF = \angle FBE = \alpha $。
$ \angle EBC = 90° - 2\alpha $，$ \angle BEC = \frac{180° - (90° - 2\alpha)}{2} = 45° + \alpha $。
$ \angle FEB = 180° - \angle BEC = 135° - \alpha $，$ \angle FBE + \angle FEB = \alpha + (135° - \alpha) = 135° $，故 $ \angle BFE = 45° $。
在 $ \triangle ABF $ 和 $ \triangle CBF $ 中，$ AB = CB $，$ \angle ABF = \angle CBF $，$ BF = BF $，所以 $ \triangle ABF \cong \triangle CBF $（SAS），得 $ AF = CF $，$ \angle BAF = \angle BCF $。
$ \angle AFC = 180° - 2\angle BCF $，又 $ \angle BCF = \angle BCE = 45° + \alpha $，$ \angle BAF = 90° - \angle BCF = 45° - \alpha $。
$ \angle AFB = 180° - \angle BAF - \angle ABF = 180° - (45° - \alpha) - \alpha = 135° $，则 $ \angle AFC = \angle AFB - \angle BFC = 135° - 45° = 90° $，即 $ \triangle AFC $ 为等腰直角三角形。
因为 $ O $ 为 $ AC $ 中点，所以 $ OF = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2} $。
$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$