1. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角. 顺次添加的条件：① $ a \to c \to d $；② $ b \to d \to c $；③ $ a \to b \to c $. 其中，正确的是(
C
)
A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③
答案：1. C
解析：
①添加a（两组对边分别相等），四边形是平行四边形；添加c（一组邻边相等），平行四边形是菱形；添加d（一个角是直角），菱形是正方形，正确。
②添加b（一组对边平行且相等），四边形是平行四边形；添加d（一个角是直角），平行四边形是矩形；添加c（一组邻边相等），矩形是正方形，正确。
③添加a（两组对边分别相等），四边形是平行四边形；添加b（一组对边平行且相等），仍是平行四边形；添加c（一组邻边相等），平行四边形是菱形，不是正方形，错误。
正确的是①②，答案选C。
2. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ G $ 是 $ BC $ 的中点. 将 $ \triangle ABG $ 沿直线 $ AG $ 折叠得到 $ \triangle AFG $，延长 $ GF $，交 $ DC $ 于点 $ E $，则 $ DE $ 的长是(
C
)
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
答案：2. C
3. (2025·浙江)如图，某兴趣小组需要在正方形纸板 $ ABCD $ 上剪下机翼状纸板(涂色部分)，点 $ E $ 在对角线 $ BD $ 上. 若裁剪过程中满足 $ DE = DA $，则“机翼角”$ \angle BAE $ 的度数为
22.5°
.
答案：3. 22.5°
解析：
解：设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$DA = AB = a$，$\angle BAD=90^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是正方形，对角线$BD$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADB = 45^{\circ}$。
已知$DE = DA = a$，所以$\triangle ADE$是等腰三角形，$DA = DE$。
因此$\angle DAE=\angle DEA$。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADB+\angle DAE+\angle DEA = 180^{\circ}$，即$45^{\circ}+2\angle DAE=180^{\circ}$，解得$\angle DAE=\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$。
又因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAD-\angle DAE=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$。
$22.5^{\circ}$
4. (2025·北京)如图，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $ 在边 $ CD $ 上，$ CF ⊥ BE $，垂足为 $ F $. 若 $ AB = 1 $，$ \angle EBC = 30^{\circ} $，则 $ \triangle ABF $ 的面积为
$\frac{3}{8}$
.
答案：$4. \frac{3}{8}$
解析：
解：在正方形 $ABCD$ 中，$AB = BC = 1$，$\angle ABC = 90°$。
在 $Rt\triangle EBC$ 中，$\angle EBC = 30°$，$BC = 1$，
$\therefore EC = BC · \tan 30° = 1 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$BE = \frac{BC}{\cos 30°} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
$\because CF ⊥ BE$，
$\therefore \angle BFC = 90°$，
$\therefore CF = BC · \sin 30° = 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，
$BF = BC · \cos 30° = 1 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$，$FH ⊥ BC$ 于点 $H$，
则四边形 $BGFH$ 为矩形，$FG = BH$，$FH = BG$。
在 $Rt\triangle BFC$ 中，$FH · BC = BF · CF$，
$\therefore FH = \frac{BF · CF}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{1}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$，
$\therefore BG = FH = \frac{\sqrt{3}}{4}$，$BH = \sqrt{BF^2 - FH^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \frac{3}{4}$，
$\therefore FG = BH = \frac{3}{4}$。
$\therefore S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} · AB · FG = \frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$。
$\frac{3}{8}$
5. （新情境·现实生活）（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 $ ABCD $ 进行测量规划使用. 如图，点 $ E $，$ F $ 是它的两个门，且 $ DE = CF $，要修建两条直路 $ AF $，$ BE $，$ AF $ 与 $ BE $ 相交于点 $ O $（两个门 $ E $，$ F $ 的大小忽略不计）. 这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请说明理由.
答案：5. 两条路等长;它们的位置关系是互相垂直 理由：
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ BA = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
∵ DE = CF，
∴ AD - DE = CD - CF，即 AE = DF.在△BAE 和△ADF 中，$\begin{cases}BA = AD,\\ ∠BAE = ∠D,\\ AE = DF,\end{cases} $
∴ △BAE ≌ △ADF (SAS)，
∴ BE = AF，∠ABE = ∠DAF.
∵ ∠BAE = ∠BAO + ∠DAF = 90°，
∴ ∠BAO + ∠ABE = 90°，
∴ 在△AOB 中，∠AOB = 180° - (∠BAO + ∠ABE) = 90°，
∴ AF ⊥ BE，
∴ 道路AF 与 BE 等长,且它们互相垂直.
6. (2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 5 $，边 $ AB $ 在 $ y $ 轴上，$ B(0,-2) $. 若将正方形 $ ABCD $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到正方形 $ A'B'C'D' $，则点 $ D' $ 的坐标为(
A
)
A.$ (-3,5) $
B.$ (5,-3) $
C.$ (-2,5) $
D.$ (5,-2) $
答案：6. A
解析：
解：
∵正方形$ABCD$边长为$5$，$AB$在$y$轴上，$B(0,-2)$，
∴$A(0,-2+5)=(0,3)$，$D(5,3)$（$AD// x$轴，长度为$5$）。
将点$D(5,3)$绕点$O$逆时针旋转$90°$，
根据旋转规律：$(x,y)\rightarrow(-y,x)$，
得$D'(-3,5)$。
答案：A
